THÉORIE DE L'ACTION CAPILLAIRE

L'objet de ce Supplément est de perfectionner la théorie que j'ai donnée des phénomènes capillaires, d'en étendre les applications, de la confirmer par de nouvelles comparaisons de ses résultats avec l'expérience, et, en présentant sous un nouveau point de vue les effets de l'action capillaire, de mettre de plus en plus en évidence l'identité des forces attractives dont cette action dépend avec celles qui produisent les affinités.

Sur l'équation fondamentale de la théorie de l'action capillaire.

L'équation aux différences partielles du n° 4 de ma théorie de l'action capillaire a été conclue du principe de l'équilibre des canaux. Ce principe consiste en ce qu'une niasse fluide homogène, animée par des forces attractives, est en équilibre si l'équilibre a lieu dans un canal quelconque aboutissant par ses extrémités à la surface du fluide. On peut le démontrer facilement de cette manière. Imaginons, dans l'intérieur du fluide, un canal rentrant, d'une largeur infiniment petite et uniforme. Si d'un point attirant pris comme centre et d'un rayon quelconque on décrit une surface sphérique qui coupe ce canal, si du même centre et d'un rayon infiniment peu différent du premier on

décrit une seconde surface, chacune de ces surfaces rencontrera le canal au moins en deux points, et elles intercepteront au moins deux portions infiniment petites de ce canal. Il est visible que les deux colonnes de fluide comprises dans ces portions seront animées d'égales forces attractives, et, comme elles ont la même hauteur dans la direction de ces forces, elles se feront mutuellement équilibre. On voit donc que le canal entier sera en équilibre par l'action du point attirant, d'où il résulte que l'équilibre aura lieu quel que soit le nombre de ces points. Imaginons maintenant qu'une portion du canal s'élève jusqu'à la surface du fluide, suivant laquelle il soit plié: l'équilibre aura encore lieu dans ce canal. En supposant donc qu'il ait lieu séparément dans la partie intérieure du canal, il aura lieu séparément dans la portion située à la surface. Ce dernier équilibre ne peut subsister que de deux manières : ou parce qu^à chaque point du canal la force dont le fluide est animé est perpendiculaire à ses côtés, ou parce que, le fluide pressant dans un sens à l'une des extrémités, cette pression est détruite par une pression contraire du fluide situé vers l'autre extrémité. Mais, dans ce dernier cas, il n'y aurait point équilibre dans la partie du canal pliée sur la surface si les deux extrémités de ce canal aboutissaient dans la partie du fluide de la surface qui presse dans le même sens. Ainsi, dans la supposition qu'il y a généralement équilibre dans un canal intérieur aboutissant par ses extrémités à la surface, si l'on conçoit un canal quelconque rentrant en lui-même et dont une portion soit pliée sur la surface du fluide, la résultante des forces qui animent le fluide dans cette portion doit être perpendiculaire aux côtés du canal. Or cela ne peut avoir lieu, quelle que soit la direction du canal, qu'autant que cette résultante est perpendiculaire à la surface; car, en la décomposant en deux, l'une perpendiculaire et l'autre parallèle à la surface, cette dernière force ne serait point détruite par les côtés d'un canal qui suivrait vsa direction. L'équilibre dans un canal quelconque intérieur, dont les extrémités aboutissent à la surface, est donc nécessairement lié à la condition de la perpendicularité de la force à la surface, condition qui, si elle est satisfaite, détermine l'équi-

libre de toute la masse fluide, comme on l'a vu dans le Livre P'de la Mécanique céleste. Les équations conclues soit de l'équilibre des canaux, soit de la perpendicularité de la force à la surface, doivent donc être identiques, ou du moins la diff'érentielle l'une de l'autre, et il est facile de voir que la seconde est une diff'érentielle de la première. Car l'équation donnée par l'équilibre des canaux ne renferme que des différences du second ordre, au lieu que, la force tangentielle à une surface capillaire étant produite, ainsi qu'on l'a vu dans le n'^ 4 de la théorie citée, par la pesanteur décomposée parallèlement à cette surface et par l'attraction de la diff'érence de la masse fluide à celle de l'ellipsoïde osculateur, diff'érence qui dépend des diff'érences du troisième ordre, l'équation résultante de la condition de la force tangentielle nulle ou, ce qui revient au même, de la perpendicularité des forces à la surface renferme des diff^érences du troisième ordre, et, par conséquent, elle est la diff'érentielle de l'équation donnée par l'équilibre des canaux. Mais il est intéressant de s'en assurer a posteriori. C'est ce que je vais faire ici, et il en résultera une confirmation de l'équation fondamentale de ma théorie et un moyen simple d'y parvenir.

Prenons pour origine des coordonnées un point quelconque de la surface, que nous désignerons par 0, et pour axe des z la perpendiculaire à la surface à ce point. La valeur de z donnée par l'équation à la surface et développée suivant les puissances et les produits des deux autres coordonnées rectangulaires x Qi y sera de cette forme :

z = kx- + Ixf + Bf- -hCx^-h Bx-f -h Exy- + Fj» +

Les trois premiers termes de cette expression de z sont relatifs à l'ellipsoïde osculateur de la surface ou, plus exactement, au paraboloïde osculateur; or l'attraction de ce solide sur le point 0 est évidemment dirigée suivant l'axe de z, puisque le solide est symétrique des côtés opposés autour de cet axe; la force tangentielle du point 0, due à l'action de la masse entière, ne peut donc résulter que de l'attraction du solide dont l'équation de la surface est

z = Cx^ -h Dx^x 4- Exx^ -+- Fj3 + . . . ,

solide qui n'est que la différence de la masse entière au paraboloide osculateur. Pour déterminer la force tangentielle due à l'attraction de ce solide différentiel sur le point 0, nommons / la distance d'un des éléments de ce solide à ce point. Nommons encore 6 l'angle que cette droite forme avec l'axe des x. Les attractions sur le point 0 n'étant sensibles que dans un très-petit espace, on peut considérer ici les trois droites x, y et /comme étant dans un même plan tangent à la surface au point 0, et l'on peut négliger les puissances et les produits de x et de y supérieurs au troisième ordre. On aura ainsi, pour l'élément du solide différentiel,

fdfdQ ( Cx^ + Dx^x -+- Eay2 + Fj^ ).

Si l'on désigne la loi de l'attraction par <p(/), l'attraction de cet élément sur le point 0, décomposée parallèlement à l'axe des x, sera

fdf © (/) dB ces 0 (Cx3 + Y)x^-x + E^/2 + Fj3 ),

et parallèlement à l'axe des j elle sera

fdfcf{f)de sin0(C^-3 -+- Bx^y-^-Exf^ + Fj^).

On aura de plus

x=^fcos9, j — /sinô;

la force tangentielle du point 0, due à l'attraction de la masse fluide, sera donc, parallèlement aux x,

fff'df cf{f) de [Ccos^e -h Bcos^ 6 sine + Ecosse sin^e + F cosOs'm^e),

et parallèlement aux j elle sera

ff f ' df (f { f )dd{C cos^ 9 sine -hDcos^esin^ 9 -hEcosQs'm^e -h Ys'm* 6).

Les intégrales relatives à 9 doivent être prises depuis 6 = o jusqu'à 0 = 2r, 77 étant la demi-circonférence dont le ravon est l'unité ; les deux intégrales précédentes deviennent

|(3C + E)//^rf/<p(/), |{3F + D)//^rf/<p(/).

L'intégrale relative à /peut être prise depuis /= o jusqu'à / infini, en sorte qu'elle est indépendante des dimensions de la masse attirante. C'est là ce qui caractérise ce genre d'attractions qui, n'étant sensibles qu'à des distances imperceptibles, permettent d'ajouter ou de négliger à volonté les attractions des corps à des distances plus grandes que le rayon de leur sphère d'activité sensible. Désignons, comme dans le n° t de ma théorie de l'action capillaire, par c — ïl{/) l'intégrale f4f^{/) prise depuis/= o, c étant la valeur de cette intégrale lorsque / est infini. n(/) sera une quantité positive décroissant avec une extrême rapidité, et l'on aura, en prenant les intégrales depuis /= o,

fpdfc?[f) = -Pîi{f)-i-^fpdfn{f].

—f^\l[f) est nul lorsque /est infini; car, quoique /"* devienne alors infini, l'extrême rapidité avec laquelle n(/) est supposé décroître rend /*n(/) nul. Les fonctions (p(/) et n(/) ne peuvent être mieux comparées qu'à des exponentielles telles que c~'-^, c étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est l'unité et i étant un très-grand nombre. En effet, c^'-^ est fini lorsque / est nul et devient nul lorsque / est infini; de plus, il décroît avec une extrême rapidité et le produit/" c~'-^ est toujours nul, quel que soit l'exposant n, lorsque /est infini. Soit encore, comme dans le n° 1 de la théorie citée,

SfdfVL[f) = c'-W[f),

c' étant la valeur de cette intégrale lorsque / est infini. W(/) sera encore une quantité positive décroissant avec une extrême rapidité, et l'on aura

Dans le cas de /infini, f^^{f) devient nul; on a donc, en prenant l'intégrale depuis/= o jusqu'à/ infini,

MPdf\i[f)=^Sfdf^[f).

Enfin, si l'on désigne, comme dans le numéro cité, par ^ l'intégrale

//<:y^'(/) prise depuis y nul jusqu'à/infini, on aura

Les deux forces tangentielles précédentes parallèles aux axes des x et des r deviendront ainsi

Maintenant, si l'on observe que, l'axe des z étant perpendiculaire à la surface, on a, au point 0,

dx ' dy

l'expression de z développée dans une série ordonnée par rapport aux puissances et aux produits de x et de/ sera, par les théorèmes connus,

dxôy

xy -4-

(Pz

d^z "^ dx^

d^z dx'df

â^z dx âf'^

xy"^

qui

donne

6 dx

I d^z 1 dx^âf

Oxdf'^

Les forces tangentielles précédentes deviendront, par conséquent.

ôx^ dx Of'^ J ^ \àf^ ôx'^ df

Nommons g la pesanteur et — ' du l'élément de sa direction. La condition de la perpendicularité des forces à la surface ou, ce qui revient au même, de la résultante des forces tangentielles nulle se réduit, comme on l'a vu dans le Livre V^ de la Mécanique céleste, à ce que la somme des produits de chaque force par l'élément de sa direction soit nulle. En multipliant donc par dx la force parallèle à l'axe des .r, par dy la force parallèle à l'axe des/ et la pesanteur g par — du, la somme

de ces produits, égalée à zéro, donnera l'équation

On a, par le n° 4 de la théorie de l'action capillaire, au point 0, où âz

àz . dz , ,

j- et ^ sont nuls,

R et R' étant le plus grand et le plus petit des rayons osculateurs à ce point; on aura donc

équation qui est évidemment la différentielle de l'équation fondamentale du n° 4 de ma théorie de l'action capillaire.

On peut déterminer de la même manière l'action perpendiculaire à la surface. Cette action dépend de la partie kx' + \xy -+■ ^y"^ de l'expression de z. Soit rla distance d'un point quelconque de l'axe des 5, situé au dedans du solide, à l'origine desz, et/ la distance de ce point à une molécule de l'intérieur du corps, dont les coordonnées sont x,

r, s. On aura

l'élément du solide sera sdsclQdz, s étant l'hypoténuse du triangle rectangle dont x ei y sont les côtés , et par conséquent étant égal à \/x-~{-y^; ô est l'angle que s forme avec l'axe des x. Représentons, comme ci-dessus, par (p(/) la loi de l'attraction. L'attraction de l'élément solide sur le point dont il s'agit, décomposée suivant l'axe des s, sera

sdsdôdz —^-~ (f[f).

Nommons encore, comme précédemment, c—n(/) l'intégrale fdfy{/), prise depuis /= o. La différentielle précédente pourra être mise sous

Œuvres deL.— lV. 54

426 MÉGANIQUE CÉLESTE.

la forme

L'attraction du solide entier sur le point que nous considérons sera donc, suivant l'axe des z,

-fSJsdsdddz^-^Pi,

d^oii l'on tire, pour cette attraction, prise depuis z =^z' jusqu'à z infini,

ce qui rend n(/) nul,

SfsdsdBWJ'),

f étant la valeur de /relative aux points de la surface, etz' étant la valeur de z relative à ces points. Or on a

on a de plus, à fort peu près,

f- = x2 +7-+ r- — irz' ,

eu négligeant le carré de z' par rapport à x^ -\-y'^ + r^\ on aura donc

f df ^sds — rdz' .

Si l'on substitue pour z sa valeur et si l'on observe que a7 = jcos0, j = ^sinG, l'équation à la surface donnera, en regardant 9 comme constant,

dz' =isds[kcos-0 -hlsmO cosQ -\-'Rs\n^-B].

Ainsi, r étant extrêmement petit, tant que n(/') a une valeur sensible, on pourra supposer, à très-peu près,

sds=f'df'{i -h aArcos^ô -\- -îlrsinO cos9 + -îBrs'm^O).

L'intégrale f J s ds d^YL[f' ) se transforme ainsi dans la suivante :

///'<//'rf0(i + aArcos29 + '2>rsin0cos5 4-'2Brsin20)n(/').

D'après les principes connus sur la transformation des doubles intégrales, on peut intégrer ici d'abord par rapport à 6 et ensuite par rap-

port à/'. L'intégrale relative à 6 doit s'étendre depuis ô = o jusqu'à 6 = 2x; la double intégrale précédente se réduit ainsi à cette intégrale

simple

Représentons, comme ci-dessus, par c'— W(/') l'intégrale //'^'n(/'), prise depuis/' nul, c' étant sa valeur entière depuis /'=o jusqu'à /' infini. L'intégrale précédente devant être prise depuis/'— /-jusqu'à /' infini, elle deviendra

Maintenant, si l'on nomme R le rayon osculateur de la section de la surface par un plan passant par les axes des x et des z, on aura

Si l'on nomme pareillement R' le rayon osculateur de la section de la surface par un plan passant par les axes des y et des z, on aura

on aura donc, pour l'attraction du corps sur un point placé dans son intérieur, suivant la direction du rayon osculateur à la surface et à la distance r de cette surface.