Kh

Pour avoir l'action entière du corps sur un fluide renfermé dans un canal infiniment étroit perpendiculaire à la surface et dont la base est prise pour unité, il faut multiplier l'expression précédente par dr et l'intégrer depuis r= o jusqu'à r infini. Soit alors

cs7:/c/r^F(r) = K, 2 7r/r</rH^(r) = H; l'action du corps sur le canal sera

i28 MÉCANIQUE CÉLESTE.

ce qui est conforme à ce que l'on a vu dans le n° 3 de ma théorie sur l'action capillaire. Cette expression est relative aux corps terminés par des surfaces convexes; lorsqu'elles sont concaves, ou convexes dans un sens et concaves dans l'autre, il faut supposer négatif le rayon de courbure relatif à la concavité.

Considérons maintenant un fluide renfermé dans un tube capillaire et prismatique plongeant verticalement par son extrémité inférieure dans un vase d'une étendue indéfinie, et supposons la surface du fluide concave. Rapportons un point quelconque de cette surface à trois coordonnées orthogonales oc, y, z, dont les deux premières soient horizontales et dont la troisième soit verticale et nulle relativement au point le plus bas de cette surface. Nommons h l'élévation de ce dernier point au-dessus du niveau du fluide du vase. Si l'on imagine un canal infiniment étroit passant par un point quelconque de la surface, se recourbant sous le tube et aboutissant à la surface de niveau du fluide du vase, h-+- z sera la hauteur du point au-dessus du niveau; en nommant donc D la densité du fluide, la condition de son équilibre dans le canal donnera l'équation

gD[h + z] = ^n(^^-^^,

Mais, si l'on fait ^=p, —- = q, on a, par la théorie des surfaces courbes,

on aura donc

2 H 1 ~.gD{h-hz],

équation qui est visiblement la même que l'équation [a) du n° 4 de la théorie citée.

En multipliant cette équation par dxdy et en l'intégrant ensuite par

rapport à dx et dy^ en observant de plus que la fonction multipliée par ^H peut être mise sous la forme

sji-hp--^- (/- y/i -f-/?=^+ q^

ôx ôy

on aura

Les doubles intégrales doivent être prises dans toute l'étendue de la section intérieure horizontale du prisme; la double intégrale g\yjJ[h-\-z)dxdy est donc le poids du fluide élevé par l'action capillaire au-dessus du niveau. Ainsi, en nommant V le volume de ce fluide,

on aura

gj)ffdxdy[li+z] = gm.

La double intégrale

IH / / dxdy N^'-^f±l!

' ' -^ dx

devient, en l'intégrant par rapport à x,

ip)

[pr'-^[<ii\

ip) ^^ [9) étant ce que deviennent /? et ^ à l'origine de l'intégrale. Pareillement, la double intégrale

dxdy V^^+/-^f devient, en l'intégrant par rapport à y,

iH Cdx

Ln/h-/^--+-V- v'i + (/')^+(</)=J Pour avoir une idée précise de ces intégrales et de leurs limites, uoui

observerons que ces limites sont la section horizontale de la surface intérieure du tube et que cette section est une courbe rentrante. Prenons l'origine des x et des y au dehors de cette courbe, de manière qu'elle soit comprise tout entière dans l'angle droit formé par les axes des X et des y. Dans ce cas, les valeurs de dx et de dy sont évidemment positives dans les doubles intégrales précédentes lorsque gl^ff{h + z) dx dy e\[mme le poids du fluide soulevé, comme nous le supposons ici; ces difl'ércntielles doivent donc aussi être supposées positives dans les intégrales simples. Cela posé :

L'élément , ^ - — se rapporte à la branche de la section

convexe vers l'axe des x, et l'élément - '^ ^= se rapporte à la

branche concave vers le même axe. L'élément ïï [pi X — g^

rapporte à la branche de la section convexe vers l'axe des y, et l'élément - == se rapporte à la branche concave vers le même axe;

en supposant donc que les éléments

se rapportent au même point de la section, ce point appartiendra à la partie de la section convexe à la fois vers l'axe des x et vers l'axe des y. Dans cette partie, les valeurs de dx et de dy, rapportées à la courbe, sont de signe contraire; en supposant donc dx toujours positif, dy sera négatif et la somme des deux éléments précédents sera

^E[{p)dr-{q)d:vl

les différentielles dx et dy étant ici celles de la section.

Pareillement, si les éléments J! ^ ^^-. et '^ ^ ^— se rap-

portent au même point de la section, ce point sera dans une partie de

la courbe concave à la fois vers l'axe des x et vers l'axe des y. Dans

cette partie, les différentielles dx et dy, rapportées à la courbe, sont de signe contraire; la somme des deux éléments précédents sera donc, en supposant dx positif,

^H(/?c?r — qdx)

\Ji-^p--+-q-

ies différentielles dx et dy étant ici celles de la section.

Si les éléments ^ ^ et ^ P T__ appartiennent au

même point, ils se rapporteront à la partie de la courbe convexe vers l'axe des x et concave vers l'axe des y, et alors dx et dy sont de même signe.

Enfin, si les éléments ^^' -^ et '^ ^ ^= se rapportent

au même point, ils appartiendront à la partie de la courbe qui est convexe vers l'axe des y et concave vers l'axe des a?; alors dx et dy sont de même signe.

On voit ainsi qu'en exprimant généralement par -~=Er^^= et ^ ^ ® ^ s/i-hp'-i-q^

-=^=â=^=. ces éléments, soit qu'ils se rapportent à l'oris^ine ou à la

n/h-/>2 + ^2 ^ ri o

fin des intégrales relatives à a; et à j, ils ont un signe contraire dans les mêmes points de la courbe lorsque les différentielles dx et dy sont celles de la courbe elle-même ; leur somme sera donc, en regardant toujours dx comme positif,

^{^[pdy-qdx)^ \/i-{-p- + q-

le signe h- ayant lieu dans la partie de la courbe convexe vers l'axe des X et le signe — ayant lieu dans la partie concave.

Maintenant il est facile de s'assurer, par la tbéorie des surfaces courbes, que, si l'on nomme ct l'angle que le plan tangent à la surface du fluide intérieur au tube forme avec les parois du tube, toujours supposé vertical, à l'extrémité de sa spbère d'activité sensible, on a

p dy — qdx

ds y'j -\- p'^-{-q'-

ds étant l'élément de la section; on a donc, en observant que l'angle xs est constant, comme je l'ai fait voir dans la théorie citée,

1 six

pdr — a d.r

i—- — ^ = c COSCJ,

c étant le contour entier de la section; partant.

IHccosnr,

(o) g-DV = ^Hccosnj;

ainsi le volume de fluide élevé au-dessus du niveau par l'action capillaire est proportionnel au contour de la section de la surface intérieure du tube. On peut parvenir à cette équation remarquable en considérant sous le point de vue suivant les eff'ets de l'action capillaire.

ISouvelle manière de considérer Vaction capillaire.

La manière dont nous avons envisagé jusqu'à présent les phénomènes capillaires est fondée sur la considération de la surface du fluide renfermé dans un espace capillaire, et sur les conditions de l'équilibre de ce fluide dans un canal infiniment étroit, aboutissant par une de ses extrémités à cette surface et par l'autre extrémité à la surface du niveau du fluide indéfini dans lequel les parois de l'espace capillaire sont plongées. Nous allons ici considérer directement les forces qui soulèvent ou dépriment le fluide dans cet espace. Cette méthode va nous conduire à plusieurs résultats généraux qu'il serait difiîcile d'obtenir directement par la précédente, et le rapprochement de ces deux méthodes nous donnera le moyen de comparer exactement les affinités des diff'érents corps avec les fluides.

Imaginons un tube quelconque prismatique, dont les côtés soient perpendiculaires à la base; supposons que par son extrémité inférieure

il plonge verticalement dans le fluide et que le fluide s'élève dans ce tube au-dessus du niveau. Il est clair que cela n'a lieu que par l'action des parois du tube sur le fluide et du fluide sur lui-même : une première lame du fluide, contiguë aux parois, est soulevée par cette action; cette lame en soulève une seconde, celle-ci une troisième et ainsi de suite, jusqu'à ce que le poids du volume de fluide soulevé balance les forces attractives qui tendent à l'élever davantage. Pour déterminer ce volume dans l'état d'équilibre, concevons à l'extrémité du tube un second tube idéal, dont les parois infiniment minces soient le prolongement de la surface intérieure du premier tube et qui, n'ayant aucune action sur le fluide, n'empêche point l'action réciproque des molécules du premier tube et du fluide. Supposons que ce second tube soit d'abord vertical, qu'ensuite il se recourbe horizontalement, et qu'enfin il reprenne sa direction verticale en conservant dans toute son étendue la même figure et la même largeur. Il est visible que, dans l'état d'équilibre du fluide, la pression doit être la même dans les deux branches verticales du canal composé du premier et du second tube. Mais, comme il y a plus de fluide dans la première branche verticale formée du premier tube et d'une partie du second que dans l'autre branche verticale, il faut que l'excès de pression qui en résulte soit détruit par les attractions verticales du prisme et du fluide sur le fluide contenu dans cette première branche. Analysons avec soin ces attractions diverses et considérons d'abord celles qui ont lieu vers la partie inférieure du premier tube.

Le prisme étant supposé vertical et droit, sa base est horizontale. Le fluide contenu dans le second tube est attiré verticalement vers le bas : 1° par lui-même; i"^ par le fluide environnant ce second tube. Mais ces deux attractions sont détruites par les attractions semblables qu'éprouve le fluide contenu dans la seconde branche verticale du canal, près de la surface de niveau du fluide; on peut donc en faire abstraction ici. Le fluide de la première branche verticale du second tube est encore attiré verticalement en haut par le fluide du premier tube. Mais cette attraction est détruite par l'attraction qu'il exerce sur ce dernier fluide; on

OF.uvres de L. — IV. 55

peut donc encore ici faire abstraction de ces deux attractions réciproques. Enfin, le fluide du second tube est attiré verticalement en haut par le premier tube, et il en résulte dans ce fluide une force verticale que nous désignerons par Q et qui contribue à détruire l'excès de pression dû à l'élévation du fluide dans le premier tube.

Examinons présentement les forces dont le fluide du premier tube est animé. Il éprouve dans sa partie inférieure les attractions suivantes: i°Il est attiré par lui-même; mais les attractions réciproques d'un corps ne lui impriment aucun mouvement s'il est solide, et l'on peut, sans troubler l'équilibre, concevoir le fluide du premier tube consolidé. 2° Ce fluide est attiré par le fluide intérieur du second tube; mais on vient de voir que les attractions réciproques de ces deux fluides se détruisent et qu'il n'en faut point tenir compte. 3° Il est attiré par le fluide extérieur qui environne le second tube, et de cette attraction il résulte une force verticale dirigée vers le bas et que nous désignerons par — Q'. Nous lui donnons le signe — pour indiquer que sa direction est contraire à celle de la force Q. Nous observerons ici que, si les lois d'attraction relatives à la distance sont les mêmes pour les molécules du premier tube et pour celles du fluide, en sorte qu'elles ne diff'èrent que par leurs intensités, en nommant p et p' ces intensités à volume égal, les forces Q et Q' sont proportionnelles à p et p'; car la surface intérieure du fluide qui environne le second tube est la même que la surface intérieure du premier tube. Les deux masses ne difl'èrent donc que par leurs épaisseurs; mais, l'attraction des masses devenant insensible à des distances sensibles, la diff'érence de leurs épaisseurs n'en produit aucune dans leurs attractions, pourvu que ces épaisseurs soient sensibles. 4° Enfin, le fluide du premier tube est attiré verticalement en haut par ce tube. En efl^et, concevons ce fluide partagé dans une infinité de petites colonnes verticales; si par l'extrémité supérieure d'une de ces colonnes on mène un plan horizontal, la partie du tube inférieure à ce plan ne produira aucune force verticale dans la colonne ; il n'y aura donc de force verticale produite que celle qui sera due à la partie du tube supérieure au plan, et il est visible que l'attraction

verticale de cette partie du tube sur la colonne sera la même que celle du tube entier sur une colonne égale et semblablement placée dans le second tube. La force verticale entière produite par l'attraction du premier tube sur le fluide qu'il renferme sera donc égale à celle que produit l'attraction de ce tube sur le fluide renfermé dans le second tube; cette force sera donc égale à Q.

En réunissant toutes les attractions verticales qu'éprouve le fluide renfermé dans la première branche verticale du canal, on aura une force verticale dirigée de bas en haut et égale à 2Q — Q'. Cette force doit balancer l'excès de pression dû au poids du fluide élevé au-dessus du niveau. Soient, comme ci-dessus, V son volume, D sa densité et g la pesanteur; ^DV sera son poids; on aura donc

Maintenant, l'action n'étant sensible qu'à des distances imperceptibles, le premier tube n'agit sensiblement que sur des colonnes extrêmement voisines de ses parois; on peut donc faire abstraction de la courbure de ces parois et les considérer comme étant développées sur un plan. La force Q sera proportionnelle à la largeur de ce plan ou, ce qui revient au même, au contour de la base intérieure du prisme. Ainsi, en nommant c ce contour, on aura Q = pc, p étant une constante qui peut représenter l'intensité de l'attraction de la matière du premier tube sur le fluide, dans le cas où les attractions des diff*érents corps sont exprimées par la même fonction de la distance, mais qui, dans tous les cas, exprime une quantité dépendante de l'attraction de la matière du tube et indépendante de sa figure et de sa grandeur. On aura pareillement Q'zrzp'c, p' exprimant, par rapport à l'attraction du fluide sur lui-même, ce que nous venons de désigner par p par rapport à l'attraction du tube sur le fluide ; on aura donc

[p] gm=-{ip-p')c,

ce qui devient l'équation (o) trouvée ci-dessus, en faisant

On a vu, dans le n° 12 de ma théorie sur l'action capillaire, que vs est nul lorsque p = p'; l'équation précédente donne, par conséquent,

Ainsi, dans le cas général où p diffère de p', on a

2p — p'=: p'cOSGT,

partant

p = p'cos^~rn.

La connaissance de l'angle cj donnera donc celle du rapport de p à p', et réciproquement. On peut démontrer directement l'équation p'= ^H de la manière suivante.

Imaginons un plan vertical d'une épaisseur sensible et dont la base inférieure soit horizontale. Concevons, à la distance a de ce plan, une ligne droite verticale infinie parallèle à ce plan, attirée par lui, et dont l'extrémité supérieure soit au niveau de la base inférieure du plan. Fixons à cette extrémité l'origine des coordonnées ce, y, ^ d'un point quelconque du plan solide, l'axe des oc étant sur la ligne a de la plus courte distance de l'extrémité de la droite au plan et l'axe des jetant horizontal comme l'axe des ao. En désignant par z' l'abaissement audessous de l'origine des coordonnées d'un point quelconque de la ligne attirée, l'attraction verticale du plan solide sur ce point sera

dxdfdz — (f)[s]

9(5) étant la loi de l'attraction à la distance s, et s étant la distance d'un point attirant du plan au point attiré de la ligne, en sorte que l'on a

Pour avoir l'attraction verticale du plan solide sur la ligne entière, il faut multiplier la triple intégrale précédente par dz' et l'intégrer par rapport à z', depuis z'= o jusqu'à z' infini. En désignant donc, comme dans le n° 1 de ma théorie de l'action capillaire, par c — Jl{s) l'intégrale/û?* 9(5) prise depuis * = o, la constance c étant l'intégrale entière

prise depuis s nul jusqu'à s infini, on aura

z ■+■ z dz' cp(«) = n(«),

s étant, dans le second membre de cette équation, ce que devient s à l'origine des coordonnées ou lorsque z' est nul. L'attraction du plan solide sur la ligne entière sera donc

fffdxdrdzuis).

Soient maintenant tj l'angle que s forme avec le plan horizontal mené par l'origine des coordonnées, et 6 l'angle que la projection de s sur ce plan forme avec l'axe desj^. On aura

^=:5 sinôcosnj, j = * cosQ cosgt.

On pourra, au lieu de l'élément docdydz, substituer l'élément s^ ds dB dvs cosxs ; la triple intégrale précédente devient ainsi

fffs-dsddduj cosTsUls],

11 est indifférent, par la nature de ce genre d'attractions, de supposer au plan une épaisseur finie ou infinie, dès lors que cette épaisseur est sensible; nous la supposerons donc infinie. Soit, comme dans le n"* 1

de la théorie citée,

fsdsU{s] = c'-W{s],

c' étant la valeur de l'intégrale lorsque s est infini; on aura

fs'-dsn[s) = - s W{s) -hfdsW{s) + const.

Pour déterminer la constante, nous observerons que les deux intégrales de cette dernière équation sont prises depuis s^=s jusqu'à s infini; d'ailleurs, sW{s) devient nul lorsque s est infini, parce que l'attraction décroît avec une extrême rapidité; on a donc ici

const.=:5M/"{5), et par conséquent

fs'^dsîl{s) = sW{s)-hfdsW{s].

Désignons encore fdsW{s) par c"—T{s)y l'intégrale étant prise ici

depuis ^ = o, et c" étant sa valeur lorsque s est infini. Cette intégrale, prise depuis s=^ s jusqu'à s infini, sera donc r(*). On aura ainsi

La triple intégrale précédente se réduit donc à la double intégrale

//J9^încosGT[5^(s) +r(5)].

Imaginons présentement une surface plane verticale infinie, passant par la ligne attirée et rencontrant perpendiculairement le plan solide attirant, et déterminons l'attraction verticale de ce plan sur cette surface. Il est clair qu'il faut multiplier la fonction précédente par da et l'intégrer par rapport à a, depuis « = o jusqu'à a infini; or on a

a = *sinôcoSGi,

ce qui donne, en faisant 6 et cr constants,

da = ds sin B ces nr.

La double intégrale précédente, multipliée par cette expression de da et ensuite intégrée par rapport à s, deviendra donc

SSfdsdQ dxs sin0 cos2gï[5^(s) + r(*)].

L'intégrale devant être ici prise depuis ^ = o jusqu'à s infini, on a, dans

ce cas,

fsdsWis) = - sT{s) -hfdsT{s) =fdsT{s),

parce que, s étant infini, sT{s) est nul; on a, de plus, par le n° 1 de la théorie citée.

sdsWis)= —

La triple intégrale précédente deviendra donc

— ffdrs dd sin Q cos^ vs.

L'intégrale relative à ct doit être prise depuis ct nul jusqu'à xs égal à un

angle droit; l'intégrale relative à G doit être prise depuis 6 nul jusqu'à 9 égal à deux angles droits, ce qui donne

dis sin0cos2nT= -;

donc l'attraction entière verticale du plan solide sur la surface plane est égale à |H. Cette attraction est ce que nous avons désigné cidessus par p, ou par p' si le plan est de la même nature que le fluide; on a donc

comme nous l'avons trouvé précédemment par la comparaison des

résultats des deux méthodes. On voit clairement par l'une et l'autre,

non-seulement l'identité des forces p et — dont dépendent les phénomènes capillaires, mais encore leur dérivation des forces attractives des molécules des corps qui produisent les affinités. Les forces capillaires ne sont que les modifications de ces forces attractives, dues à la courbure des surfaces fluides dans la première méthode et à la position des plans attirants dans la seconde méthode, au lieu que les affinités me paraissent être les forces attractives elles-mêmes, agissant avec toute leur énergie.

Reprenons maintenant l'équation (p) et observons que, dans un tube cylindrique dont le rayon intérieur est /, si l'on nomme q la hauteur moyenne à laquelle le fluide s'élève au-dessus du niveau, le volume du fluide élevé sera 7:1^ q et le contour c de la base sera 271;/; l'équation (p) donnera donc, dans ce cas particulier.

Cette équation devient ainsi généralement

V = |/gc,

d'où il suit que, de tous les tubes prismatiques qui ont même base intérieure, le cylindre creux est celui dans lequel le volume du fluide élevé est le plus petit possible, puisqu'il a le plus petit contour.

Soient b la base du tube prismatique et h la hauteur moyenne, au-

dessus du niveau, de tous les points de la surface du fluide intérieur; on aura V = hbj partant

On doit observer que, dans le cas où le fluide s'abaisse au lieu de s'élever, 2p — p', q,Y et h sont négatifs.

Les formules précédentes subsistent généralement dans le cas même où la courbure du contour de la base intérieure serait discontinue, ce qui aurait lieu, par exemple, si ce contour était un polygone rectiligne; car elles ne peuvent alors être en erreur que vers les angles de ces polygones et dans une étendue égale à la sphère d'activité sensible des molécules du tube; mais, cette étendue étant supposée imperceptible, l'erreur totale doit être entièrement insensible. Nous pouvons donc appliquer ces formules à des bases de figures quelconques.

Lorsque ces bases sont semblables, elles sont proportionnelles aux carrés de leurs lignes homologues et leurs contours c sont proportionnels à ces lignes; les hauteurs moyennes h sont donc réciproques à ces mêmes lignes.

Si les contours des bases sont des polygones circonscrits à des cercles, elles seront égales au produit de ces contours par la moitié des rayons des cercles inscrits ; les hauteurs h seront donc réciproques à ces rayons. Ainsi, en désignant ces rayons par r, on aura

d'où il suit que, dans tous les tubes prismatiques droits dont les bases sont des polygones circonscrits au même cercle, le fluide s'élève à la même hauteur moyenne.

En supposant deux bases égales, dont l'une soit un carré et dont l'autre soit un triangle équilatéral, les valeurs de h seront entre elles

comme 2:3*, ou à fort peu près comme 7 : 8.

Gellert a fait quelques expériences sur l'élévation de l'eau dans des tubes de verre prismatiques, rectangulaires et triangulaires {Mémoires

de V Académie de Saint-Pétersbourg, t. XII). Elles confirment la loi suivant laquelle les hauteurs sont réciproques aux lignes homologues des bases semblables. Ce savant conclut encore de ses expériences que, dans des prismes rectangulaires et triangulaires dont les bases sont égales, les élévations du fluide sont les mêmes. Mais il convient que cela n'est pas aussi certain que la loi des hauteurs réciproques aux lignes homologues des bases semblables. En effet, on vient de voir qu'il y a un huitième de différence entre les élévations du fluide dans deux prismes rectangulaire et triangulaire dont les bases sont égales, et dont l'une est un carré et l'autre un triangle équilatéral. Les expériences rapportées par Gellert n'offrent point de données suffisantes pour en comparer exactement les résultats aux formules précédentes. Si la base du prisme est un rectangle dont le grand côté soit a, et dont l'autre côté soit très-petit et égal à /, on aura b = al, c = 2a-h 2I, partant

. [cta-^'il)Iq ( l\

■2al \ a) ^

Si a est très-grand par rapport à /, on aura h^= q; or ce cas est à trèspeu près celui de deux plans parallèles distants l'un de l'autre de la quantité /; la hauteur moyenne du fluide élevé entre ces plans est donc à fort peu près la même que dans un tube cylindrique dont le rayon est /, ce qui est conforme à ce que j'ai trouvé par l'autre méthode dans ma théorie de l'action capillaire.

La hauteur du point le plus bas de la surface du fluide élevé dans un tube capillaire cylindrique et vertical très-étroit n'est pas exactement réciproque au diamètre du tube. Si le fluide mouille parfaitement les parois du tube comme l'alcool et l'eau mouillent le verre, il faut, pour avoir une quantité réciproque au diamètre, ajouter le sixième du diamètre à cette hauteur. En effet, si l'on nomme q cette hauteur et / le demi-diamètre du tube, le volume de la colonne fluide élevée jusqu'au point le plus bas de sa surface sera TzV^q. Pour avoir le volume entier de la colonne, il faut ajouter au volume précédent celui du ménisque que retranche du volume entier le plan horizontal mené par

OEuvrei de L. — IV. 56

le point le plus bas de la surface ; or cette surface est à fort peu près celle d'une demi-sphère, par le n° 12 de ma théorie de l'action capillaire; le volume du ménisque est donc ^7:l\ et, par conséquent, le volume entier de la colonne est ^['-{q + {/). Mais ce volume doit être, par ce qui précède, proportionnel au contour 2x/de la base; l{q + {/) est donc une quantité constante dans les divers tubes capillaires; ainsi, pour avoir des quantités réciproques aux diamètres des tubes capillaires, il faut ajouter à la hauteur du point le plus bas de la surface fluide le tiers du rayon du tube ou le sixième du diamètre.

Imaginons présentement un tube de verre recourbé dont la plus courte branche soit capillaire et dont la plus longue branche soit trèslarge et forme un vase d'une grande capacité. En versant de l'alcool dans ce vase, ce fluide s'élèvera dans la branche capillaire au-dessus de son niveau dans le vase. En continuant de verser de l'alcool, il s'élèvera de plus en plus dans la branche capillaire; mais, dans l'état d'équilibre de ce fluide, la diff^érence de son niveau dans les deux branches sera toujours la même, jusqu'à ce que le fluide soit parvenu à l'extrémité de la branche capillaire. Alors, si l'on continue de verser de l'alcool dans le vase, sa surface dans la branche capillaire devient de moins en moins concave, et, lorsque sa surface dans le vase est de niveau avec l'extrémité de la branche capillaire, sa surface dans cette branche est horizontale.

Nous avons observé dans la théorie de l'action capillaire que, si l'action du verre sur un fluide surpasse celle du fluide sur lui-même, une couche de ce fluide adhère aux parois du verre et forme avec ces parois un nouveau corps, dont l'action sur le fluide est la même que celle du fluide sur lui-même ; on peut donc, relativement aux fluides qui mouillent exactement le verre, supposer que son action sur eux est égale à leur action sur eux-mêmes. Ainsi, dans le cas précédent, l'alcool est dans l'état où il serait dans la supposition où une masse indéfinie de ce fluide, en équilibre dans un vase, viendrait à se consolider en partie, de manière à former un tube capillaire communiquant avec le fluide non congelé. Il est visible que cette supposition ne change

point l'équilibre et qu'ainsi la surface du fluide dans le tube capillaire reste horizontale comme auparavant. Il n'est donc pas exact de dire généralement que la surface d'un fluide coupe toujours sous le même angle les parois qui le renferment; cela n'est plus vrai lorsque le fluide est parvenu aux extrémités de ces parois: en efî'et, il est visible qu'alors l'action des parois sur le fluide n'est plus la même.

En continuant encore de verser de l'alcool dans le tube précédent, ce fluide forme à l'extrémité de la branche capillaire une goutte extérieure qui devient de plus en plus convexe, jusqu'à ce qu'elle soit une demi-sphère. A cette limite, le fluide est autant élevé dans le vase, audessus de l'extrémité de la branche capillaire, qu'il était abaissé audessous de son niveau dans cette branche lorsqu'il n'était point encore parvenu à cette extrémité; car la pression due à la convexité de la goutte dans le premier cas est égale à la succion due à la concavité de la surface dans le second cas. Enfin un peu d'alcool, ajouté à celui du vase, fait disparaître la goutte, qui, en s'allongeant, doit crever dans les points de sa surface où le rayon de courbure diminue par cet allongement.

Des résultats semblables ont lieu lorsque l'on tient une colonne d'alcool suspendue verticalement dans un tube capillaire de verre. Ce fluide forme à l'extrémité inférieure du tube une goutte qui devient de plus en plus convexe à mesure que l'on augmente la longueur de la colonne, et, lorsque cette goutte est une demi-sphère, la longueur de la colonne est égale au double de l'élévation du fluide dans ce tube lorsqu'il plonge par son extrémité dans un vase rempli du même fluide. Si l'on augmente la longueur de la colonne, la goutte crève et se répand sur la base inférieure du tube, où elle forme une nouvelle goutte qui devient de plus en plus convexe, jusqu'à ce qu'elle forme une demi-sphère dont le diamètre est le diamètre extérieur du tube. Alors, si la colonne est en équilibre, sa longueur est égale à la somme des élévations du fluide dans deux nouveaux tubes de verre plongeant dans un vase par leur extrémité inférieure, et dont les diamètres intérieurs seraient, l'un le diamètre intérieur du premier tube et l'autre

hkh. MÉCANIQUE CÉLESTE.

son diamètre extérieur. Enfin, par une plus grande longueur dans la colonne, le liquide se détache en partie du tube. Tous ces résultats de la théorie ont été confirmés par l'expérience.

Considérons maintenant un vase indéfini rempli d'un nombre quelconque de fluides placés horizontalement les uns au-dessus des autres. Si l'on y plonge verticalement l' extrémité inférieure d'un tube prismatique droit, l'excès du poids desjluides contenus dans le tube sur le poids des fluides qu'il eût renfermés sans l'action capillaire est le même que le poids du fluide qui s'élèverait au-dessus du niveau dans le cas où il ny aurait dans le vase que le fluide dans lequel plonge l'extrémité inférieure du tube. En effet, l'action du prisme et de ce fluide sur le même fluide renfermé dans le tube est évidemment la même que dans ce dernier cas. Les autres fluides contenus dans le prisme étant élevés sensiblement au-dessus de sa base inférieure, l'action du prisme sur chacun d'eux ne peut ni les élever ni les abaisser. Quant à l'action réciproque de ces fluides les uns sur les autres, elle se détruirait évidemment s'ils formaient ensemble une masse solide, ce que l'on peut supposer sans troubler l'équilibre.

Il suit de là que, si l'on plonge par son extrémité inférieure un tube prismatique dans un fluide et qu'ensuite on verse dans ce tube un autre fluide qui reste au-dessus du premier, le poids des deux fluides contenus dans le tube sera le même que celui du fluide qu'il renfermait auparavant. Il est visible, par la première méthode, que la surface du fluide supérieur sera la même que dans le cas où l'extrémité inférieure du tube plongerait dans ce fluide. Aux points de contact des deux fluides, ils auront une surface commune ; mais cette surface sera différente de celles qu'auraient séparément les deux fluides, et il est intéressant d'en déterminer la nature.

Pour cela, concevons que la surface intérieure du prisme soit celle d'un cylindre droit, vertical et très-étroit. Dans ce cas, il est facile de voir, par ce qui a été dit dans la théorie de l'action capillaire, que la surface commune des deux fluides et celles qu'ils auraient séparément dans ce tube seront des surfaces sphériques de rayons différents. Nom-

mons, pour le fluide supérieur, tj l'angle que sa surface forme avec la surface inférieure du tube et vs' le même angle pour le fluide inférieur, s'il était seul. Nommons encore 0 l'angle que la surface commune des deux fluides forme avec la surface inférieure du tube. On doit observer que ces angles ne sont pas ceux que ces diverses surfaces forment aux points de leur contact avec le tube; ce sont les angles formés par les plans tangents de ces surfaces à la limite de la sphère d'activité sensible du tube, comme nous l'avons dit plusieurs fois. Nommons K et H pour le fluide supérieur ce que nous avons désigné par ces lettres dans le n° 1 de la théorie citée. Nommons K' et H' les mêmes quantités pour le fluide inférieur. Désignons encore par K, et H^ ce que deviennent K et H lorsque, au lieu de considérer l'action du fluide supérieur sur lui-même, on considère l'action de ce fluide sur le fluide inférieur. L'action étant toujours égale à la réaction, K, et H, seront encore ce que deviennent K' et H' lorsque l'on considère l'action du fluide inférieur sur le fluide supérieur. Cela posé, imaginons un canal infiniment étroit passant par l'axe du tube et se recourbant au-dessous pour aboutir à la surface de niveau du fluide du vase. Le fluide supérieur renfermé dans ce canal sera sollicité vers le bas à sa surface

supérieure par la force K -. — > / étant le rayon du creux du tube

(théorie citée, n^M et 2).

A la surface commune, le fluide du canal sera sollicité vers le haut

par la force K-{ — > en vertu de l'action sur lui-même du fluide

supérieur du tube; il sera sollicité vers le bas par la force K, H — —. — ?

en vertu de l'action du fluide inférieur du tube; le fluide supérieur du canal sera donc sollicité vers le bas par la force

„ (H| — H)cos0 HcosGï Ç^ + 1 2

Le fluide inférieur du canal sera sollicité vers le bas, en vertu de l'action du fluide inférieur du tube, par une force égale à K' — >

et, par l'action du fluide supérieur du tube, il sera sollicité vers le

haut force

haut par la force K, * . ; il sera donc sollicité vers le bas par la

K^ K^ 1 (H<-H^)cos(

Ainsi la force totale des fluides du canal, due à l'action réciproque des fluides du tube, sera, vers le bas,

,,, (2H, — H — H')cos0 HcosGT K+ j j

Si le fluide inférieur existait seul, cette force serait

H' coscî'

le poids des fluides contenus dans le canal devant donc être le même dans ces deux cas, comme on vient de le voir, ces deux forces doivent être égales ; on a par conséquent

HCOSGJ , „ „ „,,COSÔ H'COSGJ'

ce qui donne

^ H' COSXS' — H C0S5J

^^- ~ U + H'-aH,

On peut éliminer de cette expression de cosô les angles cr et cj' au

moyen des équations suivantes, qu'il est facile de conclure de ce qui

précède :

ail — H =H coscj,

2ÏF— H'=H'coscj',

H étant ce que devient H lorsque Ton considère l'action du fluide supérieur sur la matière du tube, et H' étant ce que devient H' lorsque l'on considère l'action du fluide inférieur sur la même matière. On aura

ainsi

. aH^-^H + H-H' '^'^== H + H-.H,

L'angle 0 étant supposé connu, on aura facilement, par l'analyse de la théorie de l'action capillaire, l'équation différentielle de la surface commune des deux fluides, quelle que soit la largeur du tube et sa figure. On doit observer que cet angle est celui que les plans tangents à cette surface, aux limites de la sphère d'activité sensible des parois du tube, forment avec ces parois.

Les formules précédentes supposent que les fluides ne mouillent pas parfaitement les parois du tube. Nous avons observé, dans le n° 12 de la théorie de l'action capillaire, que, si l'action du tube sur le fluide surpasse celle du fluide sur lui-même, alors une lame extrêmement mince du fluide tapisse les parois du tube et forme un nouveau tube dans lequel les fluides s'élèvent ou s'abaissent; ainsi, dans le cas où le tube contient plusieurs fluides qui le mouillent exactement, ils forment dans son intérieur une suite de tubes différents, auxquels on ne peut, par conséquent, appliquer les formules précédentes. Ne considérons ici que deux fluides, l'eau et le mercure ; et supposons que le tube soit de verre et que, ayant été fort humecté, ses parois soient tapissées d'une lame d'eau très-mince adhérente au verre. Dans ce cas, on pourra considérer le tube comme étant aqueux, et l'on aura

on aura donc cosG = — i, et par conséquent 8 = 7t. La surface du mercure est donc alors convexe et à très-peu près celle d'une demi-sphère, si le tube est fort étroit. On peut d'ailleurs s'en assurer en appliquant à ce cas le raisonnement par lequel j'ai prouvé, dans le n** 12 de ma théorie de l'action capillaire, que la surface du liquide, dans un tube très-étroit dont l'action est insensible, est convexe et celle d'une demisphère.

La dépression du mercure est, par ce qui précède, — — - — — ou