TT; TT

— -i en n'ayant point égard à la petite colonne d'eau qui pèse sur

le sommet de sa surface, b étant la hauteur de cette colonne et D exprimant la densité du mercure, celle de l'eau étant prise pour unité, il est

visible que la dépression du mercure sera

gt -^D

Maintenant, si l'on conçoit le même tube humecté par de l'alcool, en nommant 'H l'action de l'alcool sur le mercure, 'b la hauteur de la colonne d'alcool qui s'élève au-dessus de sa surface et 'D le rapport de la pesanteur spécifique du mercure à celle de l'alcool, la dépression du

mercure devient alors

H -:^ H \& gi -^D

L'action de l'eau sur elle-même étant beaucoup plus grande que celle de l'alcool sur lui-même, comme on le verra bientôt, il est très-vraisemblable que l'action de l'eau sur le mercure surpasse celle d l'alcool sur le même liquide, en sorte que ^H est moindre que H,; cette différence doit donc être sensible par l'expérience.

M. Gay-Lussac a bien voulu la déterminer. Après avoir fort humecté un tube de verre dont le diamètre intérieur, mesuré avec une grande précision au moyen du poids d'une colonne de mercure qui remplissait le tube, était égal à i"™, 29441» il a plongé dans un vase plein de mercure l'extrémité inférieure de ce tube. Il a trouvé, par un milieu entre dix expériences qui différaient peu entre elles, la dépression du mercure égale à 7"™,4i48. Le mercure, en s'insinuant dans le tube, avait élevé au-dessus de sa surface une partie de l'eau qui s'était attachée aux parois du tube en l'humectant, et la longueur de la colonne d'eau formée de cette manière était de 7"™, 730. La température était de 17°, 5 pendant les expériences. La dépression du mercure, diminuée du poids de cette colonne d'eau, est donc égale à 6™™, 8464; c'est, relativement à ce liquide, la valeur de

H -aH,

En humectant le même tube avec de l'alcool dont la pesasteur spécifique, comparée à celle de l'eau, était 0,81971, M. Gay-Lussac a trouvé,

par un milieu entre dix expériences très-peu différentes entre elles, la dépression du mercure égale à 8™"", 0261, et la longueur de la colonne d'alcool qui pesait au-dessus du mercure, égale à 7™", 4735. La température était encore 1 7^*, 5 pendant ces expériences. De là on conclut

Cette valeur est donc, comme on l'avait prévu, sensiblement plus grande que celle de — ^ — ^ •

M. Gay-Lussac a de plus observé la flèche de la convexité du mercure dans le tube précédent, et il l'a trouvée la même que celle de la concavité de la surface supérieure des colonnes d'eau et d'alcool; toutes ces surfaces sont donc égales entre elles et à celle d'une demi-sphère dont le diamètre est celui du tube, conformément à la théorie précédente.

Un vase indéfini étant supposé ne renfermer que deux fluides, concevons que L'on j plonge entièrement un prisme droit vertical, de manière qu'il plonge dans l'un par sa partie supérieure et dans l'autre par sa partie inférieure ; le poids du fluide inférieur élevé dans le prisme par l'action capillaire au-dessus de son niveau dans le vase sera égal au poids d'un pareil volume du fluide supérieur, plus au poids du fluide inférieur qui s'élèverait dans le prisme au-dessus du niveau, s'il ny avait que ce fluide dans le vase, moins au poids du fluide supérieur qui s'élèverait dans le même prisme au-dessus du niveau si, ce fluide existant seul dans le vase, le prisme trempait dans ce fluide par son extrémité inférieure.

Pour le démontrer, on observera que l'action du prisme et du fluide inférieur sur la partie du fluide inférieur qu'il contient est la même que si ce fluide existait seul dans le vase; ce fluide est donc, dans ces deux cas, sollicité verticalement vers le haut de la même manière, et il est évident que les forces qui le sollicitent dans le dernier cas équivalent au poids du volume de ce fluide qui s'élèverait alors au-dessus du niveau. Pareillement, le fluide supérieur contenu dans la partie supérieure du prisme est sollicité verticalement vers le bas par l'action

Œuvres de L.— IV. 57

du prisme et du fluide qui environne cette partie, comme il serait sollicité vers le haut par les mêmes actions si, le vase ne renfermant que le fluide supérieur, le prisme trempait dans ce fluide par son extrémité inférieure, et dans ce cas la réunion des actions équivaut au poids du fluide supérieur qui s'élèverait dans le prisme au-dessus de son niveau dans le vase. Enfin, la colonne des fluides intérieurs au prisme, qui est au-dessus du niveau du fluide inférieur dans le vase, est sollicitée verticalement vers le bas par son propre poids et vers le haut par le poids d'une colonne égale du fluide supérieur. En réunissant toutes ces forces, qui doivent se faire équilibre, on aura le théorème que nous venons d'énoncer. On déterminera par les mêmes principes ce qui doit avoir lieu lorsqu'un prisme creux est entièrement plongé dans un vase rempli d'un nombre quelconque de fluides.

Nous avons supposé, dans tout ce qui précède, la base inférieure du prisme horizontale. Mais, quelles que soient son inclinaison et la figure de l'extrémité inférieure du tube dans le sens vertical, l'attraction verticale du tube et celle du fluide extérieur sur le fluide qu'il renferme seront les mêmes que si la base était horizontale, et, par conséquent, le volume du fluide élevé au-dessus du niveau sera le même dans ces deux cas. Pour le faire voir, imaginons, comme ci-dessus, la surface intérieure du tube prismatique prolongée dans le fluide, de manière à former un tube additionnel dont les parois infiniment minces n'altèrent point l'action du fluide environnant sur le fluide du tube. Il est clair que, si l'on décompose le premier tube en colonnes verticales infiniment petites, l'action de chacune de ces colonnes pour élever le fluide intérieur aux deux prismes sera la même que si la base était horizontale ; la somme de ces actions sera donc encore égale à 2pc.

Si le prisme qui par sa partie inférieure trempe dans le Jluide d'un vase indéfini est oblique à l'horizon^ le volume du Jluide élevé dans le prisme au-dessus du niveau du Jluide du vase^ multiplié par le sinus de l' inclinaison des côtés du prisme à l'horizon, est constamment le même, quelle que soit cette inclinaison.

En effet, ce produit exprime le poids du volume du fluide élevé au-

dessus du niveau et décomposé parallèlement aux côtés du prisme. Ce poids ainsi décomposé doit balancer l'action du prisme et du fluide extérieur sur le fluide qu'il renferme, action qui est évidemment la même quelle que soit l'inclinaison du prisme; la hauteur verticale moyenne au-dessus du niveau est donc constamment la même.

Si l'on place verticalement un prisme dans un autre prisme creux et vertical y de la même matière, et que l'on plonge dans un fluide leurs extrémités inférieures, en nommant V le volume du fluide élevé au-dessus du niveau dans l'espace compris entre ces deux prismes, on aura

. "io — q' la , ,.

c étant le contour de la base intérieure du plus grand prisme et c étant le contour de la base extérieure du plus petit.

Ce théorème est facile à démontrer au moyen des principes exposés ci-dessus. Si les bases des deux prismes sont des polygones semblables, dont les côtés homologues soient parallèles et placés à la même distance, en nommant / cette distance, la base de l'espace que les deux

prismes laissent entre eux sera ; ainsi, h étant la hauteur

moyenne du fluide soulevé, on aura

lilic + c']

et par conséquent

c'est-à-dire que la hauteur moyenne du fluide élevé est la même que celle du fluide élevé dans un tube cylindrique dont le rayon est égal à l'intervalle des deux prismes. En supposant que les prismes sont des cylindres, on aura le théorème du n° 7 de la Théorie sur l'action capillaire. On peut déterminer encore par les mêmes principes ce qui doit avoir lieu dans le cas où les prismes sont plongés, en tout ou en partie, dans un vase rempli d'un nombre quelconque de fluides, en supposant même ces primes inclinés à l'horizon.

i52 MÉCANIQUE CÉLESTE.

Les mêmes choses étant posées que dans le théorème précédent, si les deux prismes sont de différentes matières, en nommant o pour le plus grand et p, pour le plus petit ce que nous avons désigné précédemment

par p, on aura

rtpi — p' ,

en sorte que, si l'on nomine q et q^ les élévations du fluide dans deux tubes cylindriques très-étroits, du même rayon intérieur l, formés respectivement de ces matières, on aura

et par conséquent

Y = {l[qc + q,c'),

Ce théorème se démontre encore facilement par les principes précédents. On doit observer de faire q et q^ négatifs si les matières auxquelles ils se rapportent dépriment le fluide au lieu de l'élever. On obtiendra par les mêmes principes le volume du fluide élevé au-dessus du niveau dans un espace renfermé par un nombre quelconque de plans verticaux de difl'érentes matières.

Il résulte du théorème précédent que le volume V du fluide élevé par l'action capillaire, à l'extérieur d'un prisme plein, plongeant dans un fluide par son extrémité inférieure, est

c étant le contour horizontal du prisme. Ce volume exprime l'augmentation du poids du prisme due à l'action capillaire. En général, l'augmentation du poids d'un corps de figure quelconque, due à cette action, est égale au poids du volume de fluide qu'il élève par cette action nu-dessus du niveau, et, si le fluide est déprimé au-dessous, l' augmentation se change en diminution de poids et la diminution entière du poids du

corps est égale au poids d'un volume de fluide pareil à celui que le corps déplace, soit par l'espace quil occupe au-dessous du niveau, soit par l'espace qu'il laisse vide en écartant, le Jluide par l'action capillaire.

Ce principe embrasse le principe connu d'Hydrostatique sur la diminution du poids d'un corps plongeant dans un fluide; il suffit d'en supprimer ce qui est relatif à l'action capillaire, qui disparaît totalement lorsque le corps est entièrement plongé dans le fluide au-dessous du niveau.

Pour démontrer le principe que nous venons d'énoncer, considérons un canal vertical assez large pour embrasser le corps et tout le volume sensible de fluide qu'il soulève ou de l'espace qu'il laisse vide par l'action capillaire. Concevons que ce canal, après avoir pénétré dans le fluide, se recourbe horizontalement, et qu'ensuite il se relève verticalement, en conservant dans toute son étendue la même largeur. Il est clair que, dans l'état d'équilibre, les poids contenus dans les deux branches verticales de ce canal doivent être égaux; il faut donc que le corps par son poids compense le vide qu'il produit par l'action capillaire, ou, s'il soulève par cette action le fluide, il faut que, par sa légèreté spécifique, il compense le poids du fluide élevé. Dans le premier cas, cette action soulève le corps, qui peut être par là maintenu à la surface, quoique plus pesant spécifiquement que le fluide. Dans le second cas, elle tend à faire plonger le corps dans le fluide.

Considérons un prisme solide rectangle très-étroit, dont /soit la largeur, h la hauteur et a la longueur. Imaginons qu'il soit placé horizontalement sur un fluide, de manière que son plus grand côté a soit horizontal et supposons qu'il déprime autour de lui le fluide, que q soit la dépression moyenne au-dessous du niveau dans un tube cylindrique de la matière du prisme et dont le rayon est /. Nommons ïD la densité du prisme, celle du fluide étant D, et désignons par x la profondeur dont il s'abaisse au-dessous du niveau. On aura, par les théorèmes précédents, dans l'état d'équilibre,

gDalx -»- g-D /^ ( rt H- /) — igD a/tl,

ce qui donne

En supposant donc h moindre que . — -, le prisme ne plongera

point en entier dans le fluide, quoique i surpasse l'unité, c'est-à-dire quoique le prisme soit plus dense que le fluide. C'est ainsi qu'un cylindre d'acier, trcs-délié, dont le contact avec l'eau est empêché soit par un vernis, soit par une petite couche d'air qui l'enveloppe, est soutenu à la surface de ce fluide. Si l'on place ainsi horizontalement sur l'eau deux cylindres égaux et parallèles qui se touchent de manière qu'ils se dépassent mutuellement, on ohserve qu'à l'instant ils glissent l'un sur l'autre pour se mettre de niveau par leurs extrémités. Le fluide étant plus déprimé par l'action capillaire à l'extrémité de chacun d'eux qui est en contact avec l'autre cylindre qu'à l'extrémité opposée, la base de cette dernière extrémité est plus pressée que l'autre base ; chaque cylindre tend en conséquence à se réunir de plus en plus avec l'autre, et, comme les forces accélératrices portent toujours un système de corps dérangé de l'état d'équilibre au delà de cette situation, les deux cylindres doivent se dépasser alternativement en faisant des oscillations, qui, diminuant sans cesse par les résistances qu'elles éprouvent, finissent par être anéanties. Ces cylindres, alors parvenus à l'état d'équilibre, sont de niveau par leurs extrémités.

On voit, par ce qui précède, que la manière dont nous venons d'envisager l'action capillaire conduit fort simplement aux principaux résultats de ma Théorie sur cet objet. Mais la méthode exposée dans cette Théorie a des avantages qui lui sont propres. Elle fait connaître la nature de la surface des fluides renfermés dans les espaces capillaires et montre avec évidence que, dans des tubes cylindriques trèsétroits, cette surface est à très-peu près sphérique, et qu'ainsi les hauteurs de ses divers points au-dessus du niveau sont très-peu difi'érentes. On peut encore en conclure que, dans divers tubes de la même matière.

plongeant par leurs extrémités inférieures dans le même fluide, si leur figure dans la partie où le fluide s'élève est la même, le fluide s'élèvera dans tous à la même hauteur, quelle que soit d'ailleurs la figure des autres parties. Cela résulte évidemment de l'équilibre du fluide dans un canal infiniment étroit passant par l'axe de chaque tube, au-dessous duquel il se recourbe, pour aboutir à la surface de niveau du fluide. Car il est clair que, si la figure des tubes est la même dans les parties où le fluide s'y élève, la surface du fluide y sera la même, et, par conséquent aussi, l'action du fluide du tube sur celui du canal sera la même dans ces tubes; l'un des canaux étant supposé en équilibre, les autres le seront donc pareillement.

Nous observerons ici qu'il peut y avoir plusieurs états d'équilibre dans un même tube si sa largeur n'est pas uniforme. Ainsi, en supposant deux tubes capillaires communiquant entre eux, et dont le plus petit soit placé verticalement au-dessus du plus grand, on peut concevoir leurs diamètres et leurs longueurs tels que le fluide soit d'abord en équilibre au-dessus du niveau dans le plus grand, et que, en versant ensuite du même fluide jusqu'à ce qu'il atteigne le plus petit tube et en remplisse une partie, le fluide s'y maintienne encore en équilibre. Lorsque la figure d'un tube capillaire diminue par nuances insensibles, les divers états d'équilibre sont alternativement stables et non stables. D'abord, le fluide tend à s'élever dans le tube, et cette tendance, en diminuant, devient nulle dans l'état d'équilibre; au delà, elle devient négative et, par conséquent, le fluide tend à s'abaisser; ainsi ce premier équilibre est stable, puisque le fluide, étant un peu écarté de cet état, tend à y revenir. En continuant d'élever le fluide, sa tendance à s'abaisser diminue et redevient nulle dans le second état d'équilibre; au delà, elle devient positive et le fluide tend à s'élever, et, par conséquent, à s'éloigner de cet état, qui n'est point stable. En continuant ainsi, on voit que le troisième état sera stable, le quatrième non stable, et ainsi de suite.

Enfin, la comparaison des deux méthodes nous a fait connaître le rapport des quantités p et p', ou, ce qui revient au même, des quan-