TT TT
tités — et — ) au moyen de l'angle vs que forment avec les parois du tube
les plans tangents à la surface du fluide intérieur, aux limites de la sphère d'activité sensible du tube. Ces quantités représentent les forces dont dépendent les phénomènes capillaires; elles dérivent des forces attractives des molécules des corps, dont elles ne sont que des modifications ; mais elles sont incomparablement plus petites que ces forces attractives, qui, lorsqu'elles agissent avec toute leur énergie, sont les affinités chimiques elles-mêmes. Si la loi d'attraction relative à la distance était la même pour les différents corps, les valeurs de p et de p' seraient, comme nous l'avons déjà observé, proportionnelles aux intensités respectives de leurs attractions, c'est-à-dire aux coefficients constants qui multiplieraient la fonction commune de la distance par laquelle la loi de ces attractions serait représentée. Les valeurs de p et de p' se rapportent alors à des volumes égaux, et non à des masses égales. Pour le faire voir, concevons deux tubes capillaires de même diamètre et de substance différente, mais dans lesquels un fluide s'élève à la même hauteur. Il est clair, par ce qui précède, que si l'on prend dans ces tubes deux volumes égaux et infiniment petits, semblablement placés relativement au fluide intérieur, leur action sur ce fluide sera la même et l'on pourra substituer l'un à l'autre; il faut donc, pour avoir les rapports de leurs attractions à égalité de masses, diviser les valeurs de p par les densités respectives des différents corps.
Il suit de là que les valeurs de p, de p' et de ct doivent varier avec la température. Considérons, par exemple, un fluide qui mouille exactement le verre, tel que l'alcool, et concevons un tube de verre capillaire, plongeant par son extrémité inférieure dans l'alcool; supposons qu'à zéro de température ce fluide s'y élève, au-dessus du niveau, de la hauteur q. Concevons ensuite que, la température croissant, la densité du fluide diminue dans le rapport de i — a à l'unité; si l'on imagine, comme dans le n° 1 de la Théorie citée, un canal infiniment étroit passant par l'axe du tube, l'action du ménisque fluide formé par un plan horizontal mené par le point le plus bas de la surface fluide dans
le tube sera diminuée par les deux causes suivantes : i° sa densité devenant moindre, son attraction sera plus petite dans le même rapport; car il est naturel de penser que ce genre d'attractions suit la raison de la densité pour la même substance, et cela se vérifie à l'égard de l'action des gaz sur la lumière, action qui, comme on l'a reconnu par des expériences très-exactes, est pour le même gaz proportionnelle à sa densité; 2° l'action du ménisque fluide sur le canal diminue encore évidemment avec la densité du fluide du canal. Par ces deux causes réunies, la valeur de H est diminuée en raison du carré de la densité du fluide, et, par conséquent, dans le rapport de (i — a)^ à l'unité. Mais la valeur de H, divisée par le rayon / du tube, qui exprime l'action du ménisque sur le canal, doit balancer le poids du fluide élevé dans ce canal, et ce poids est égal au produit de l'élévation du fluide par sa densité et par la pesanteur. En représentant donc par q' cette élévation et par l'unité la densité du fluide à zéro de température, et nommant g la pesanteur, on aura les deux équations
d'où l'on tire
Ainsi l'élévation du fluide dans un même tube à diverses températures est en raison de sa densité. Nous faisons abstraction ici de la dilatation du tube, qui, en augmentant son diamètre intérieur, diminue son élévation. En y ayant égard, on aura ce théorème, qui doit avoir lieu relativement aux liquides qui, tels que l'alcool, paraissent jouir d'une parfaite fluidité : L'élévation d'un fluide qui mouille exactement les parois d'un tube capillaire est, à diverses températures, en raison directe de la densité dujluide et en raison inverse du diamètre intérieur du tube.
CRuvres de L. — IV. 58
De l'attraction et de la répulsion apparente des petits corps qui nagent à la surface des fluides.
J'ai soumis à l'analyse, dans le n° 11 de ma Théorie de l'action capillaire, l'attraction mutuelle apparente de deux plans homogènes verticaux et parallèles d'une épaisseur sensible, et plongeant par leurs extrémités inférieures dans un fluide. J'ai fait voir que l'action capillaire tend toujours à les rapprocher, soit que le fluide s'élève, soit qu'il s'abaisse entre eux. Chaque plan éprouve alors, l'un vers l'autre, une pression égale au poids d'un prisme du même fluide, dont la hauteur serait la demi-somme des élévations au-dessus du niveau, ou des abaissements au-dessous, des points extrêmes de contact des surfaces intérieure et extérieure du fluide avec le plan, et dont la base serait la partie du plan comprise entre les deux lignes horizontales menées par ces points. Ce théorème renferme la vraie cause de l'attraction apparente des corps qui nagent sur un fluide, lorsqu'il s'élève ou s'abaisse près d'eux. Mais l'expérience fait connaître que les deux corps se repoussent lorsque le fluide s'élève près de l'un d'eux, tandis qu'il s'abaisse près de l'autre. Pour rendre raison de ce phénomène, je vais considérer ici généralement la répulsion apparente de deux plans verticaux et parallèles de matières diff'érentes, et plongeant par leurs extrémités inférieures dans un même fluide.
Supposons que le fluide s'abaisse près du premier plan et qu'il s'élève près du second ; la section de la surface du fluide compris entre eux aura d'abord un point d'inflexion si les deux plans sont fort distants l'un de l'autre; ce point est au niveau de la surface du fluide indéflni dans lequel on suppose que les plans trempent, car, si l'on conçoit un canal infiniment étroit passant par ce point et se recourbant ensuite au-dessous de l'un des plans pour aboutir loin d'eux à la surface du fluide extérieur, lés rayons de courbure de la surface fluide étant infinis aux deux extrémités de ce canal, il doit être de niveau dans ses deux branches. Cela posé, nommons z l'élévation au-dessus
du niveau d'un point quelconque de la section de la surface du fluide intérieur ety la distance horizontale de ce point au premier plan, z étant négatif pour les points au-dessous du niveau. On aura, par le n°4 de ma Théorie de l'action capillaire,
dr'^
lOLZ.
Cette équation, multipliée par dz et intégrée, donne
/ dz^
const. — xz"^.
Pour déterminer la constante, nommons vs l'angle aigu que forme avec un plan vertical la tangente à un point de la section placé à la limite de la sphère d'activité sensible du premier plan. On aura
/ dz^
smcj.
Soit çf la dépression de ce point au-dessous du niveau; on aura, à ce point, v.z'^ égal à a^^; donc
const. = sincj + ag', et, par conséquent,
djr-
Soit
on aura
Zdz
(i) dy
Soit ts' l'angle aigu que forme avec un plan vertical la tangente à un point de la section placé à la limite de la sphère d'activité sensible du
second plan; on aura, à ce point,
=: smcj
En nommant donc q' la valeur de z relative au même point, on aura
sincï' = sincT + a^2 ojg'a.
partant,
(r) sincj— sinsT'=: a</'2— aç2,
Z ne peut jamais surpasser l'unité, et, si la section a un point d'inflexion, z est nul à ce point; alors Z est égal à sint? -f- ag^^; donc sinw -H (tq^ est égal ou moindre que l'unité. S'il était égal à l'unité, on
aurait
Z = i — az2;
par conséquent,
, (i — (xz^]dz
djr= ^ =z •
z sjoc v'^ — «^2
L'intégrale de cette équation, prise dans des limites entre lesquelles z est nul, donne pour j, et par conséquent pour la distance mutuelle des plans, une valeur infinie; ainsi, lorsque cette distance est finie et lorsqu'il y a un point d'inflexion dans la section de la surface du fluide intérieur, sinu + ay'' est moindre que l'unité; sincr' + ay'^ sera donc pareillement, en vertu de l'équation (r), moindre que l'unité.
Lorsque les plans sont à une distance infinie l'un de l'autre, y doit
être infini, ce qui exige que Z soit égal à l'unité lorsque z est nul; en
nommant donc q^ la dépression du fluide dans ce cas, ou, ce qui
revient au même, la dépression du fluide à l'extérieur du premier plan,
on aura
aq'\ + sincj = i;
q est donc moindre que ^r,. Maintenant, si l'on applique ici les raisonnements du n° 11 de ma Théorie de l'action capillaire, on verra que le premier plan est pressé du dedans en dehors par une force égale
au poids d'un prisme fluide dont la hauteur est ^{q -+- g',), dont la profondeur est Çi — q et dont la largeur est celle du plan.
L'équation (r) donne sinu'+ay'^ moindre que l'unité. Lorsque les plans sont à une distance infinie, elle donne cette fonction égale à l'unité. Soit q\ ce que devient alors q'; q\ sera donc plus grand que q', et il résulte encore du n° 11 de la Théorie citée que le second plan sera pressé du dedans en dehors par une force égale au poids d'un prisme fluide dont la hauteur est ^ (^' -h ^',), dont la profondeur est ^', — ^' et dont la largeur est celle du second plan, que nous supposons ici la même que celle du premier. On peut en conclure que les pressions que les deux plans éprouvent pour s'écarter l'un de l'autre sont égales; en eff'et, le produit de ^iq^-^q') par q\ — q' est égal au produit de iiÇt-^Ç) P^ï" 9i'~Ç- C^s produits sont ^{q\^ — q'^) et ^{q]—q^), ou
— (i — sinro'— acr'2), — (i — sincr— affS],
et ces deux dernières quantités sont égales en vertu de l'équation (r). Il y aura toujours inflexion au milieu de la surface du fluide compris entre les plans, si cr est égal à cr', quel que soit leur rapprochement; ces plans se repousseront donc à toutes les distances. Mais, si w est diff*érent de cy', la ligne d'inflexion de la surface se rapprochera du premier ou du second plan, lorsqu'on diminue leur distance, suivant que cj sera plus grand ou plus petit que rz . Supposons ici ct>ct'; dans ce cas, y^ sera moindre que q^, c'est-à-dire que le fluide sera moins déprimé à l'extérieur du premier plan qu'il ne sera élevé à l'extérieur du second. En rapprochant les plans, la ligne d'inflexion de la surface finira par coïncider avec le premier plan. En eff'et, l'équation
sinTîT— sincj' = a^'2 (^qi
nous montre que a^'^ surpasse toujours sinn— sinny', et cependant il est visible, par l'équation («), que, s'il y a inflexion dans la surface du fluide intérieur, q' est de l'ordre de la distance mutuelle des plans, qui, par leur rapprochement, peut devenir plus petite qu'aucune grandeur
.'î.62 MÉCANIQUE CÉLESTE.
donnée. Il y a donc une limite de rapprochement où cette inflexion cesse et où, par conséquent, la ligne d'inflexion coïncide avec le premier plan. En deçà de cette limite, lorsque l'on continue de rapprocher les plans, ils continuent de se repousser jusqu'à ce que le fluide soit autant élevé au-dessus du niveau à l'intérieur du premier plan qu'il est abaissé au-dessous à l'extérieur, comme on peut s'en assurer par le n° 1 1 de la Théorie de l'action capillaire. Dans ce cas, q étant l'élévation du fluide près du premier plan à l'intérieur, on a
a</2 z=z ocq\ = I — sincr;
l'équation (r), qui subsiste toujours, donne alors
ocq'^ = a.q'^ = i — sinnj',
et il résulte encore du n" \ 1 cité que le second plan cesse alors d'être repoussé par le premier, en sorte que la répulsion se change en attraction au même instant pour les deux plans.
Il est facile de déterminer la distance mutuelle des plans lorsque ce changement a lieu. En eff'et, a.q^ étant alors égal à i — sinu, on a
et l'équation difl*érentielle (i) devient
i — az^)dz
dy
d'où l'on tire, en intégrant,
^ I . 1 — ^1— ^«2=* 21/1— ^az^
r= — 7='og V- " + — ^ — =J h consl.
iS/ia i-t-y/i— ^az^ ^la.
Pour déterminer la constante, on observera que, y étant nul, z est égal à q, et, par conséquent,
az2= I — sincj;
si l'on nomme ensuite 2 /la distance mutuelle des plans, on aura z égal à q' lorsque j est égal à 2/; on aura donc alors
az2r= I — sincr'.
Soient
cj= — — y, CT = — 2 a
8 et ô' exprimeront les inclinaisons des deux côtés extrêmes de la section à l'horizon ; alors on aura
^ ' \'ioc ^ tangue ^loc^ ' ' "
on doit observer que le logarithme est hyperbolique. Si 6 est infiniment petit, le fluide ne s'abaissera qu'infiniment peu à l'extérieur du premier plan; l'expression précédente de 2/ devient alors infinie; les deux plans s'attirent donc alors à toutes les distances. Ainsi la supposition de 6 nul est la limite où les deux plans commencent à pouvoir se repousser. Si 6 croissant devient égal à 6', alors 2/ devient nul; les deux plans se repoussent donc alors à toutes les distances. Entre ces deux limites, les plans, après s'être repoussés, s'attirent lorsque l'expression précédente est moindre que 2/. On déterminera leur attraction ou leur répulsion au moyen du théorème suivant, qu'il est facile de conclure du n^ 11 de la Théorie citée :
Quelles que soient les substances dont les plans sont /orme's, la tendance de chacun d'eux vers l'autre est égale au poids d'un prisme fluide dont la hauteur est V élévation au-dessus du niveau des points extrêmes de contact du fluide intérieur avec le plan moins cette élévation à l'extérieur, dont la profondeur est la demi-somme de ces élévations et dont la largeur est celle des plans dans le sens horizontal. On doit supposer l'élévation négative lorsqu'elle se change en abaissement au-dessous du niveau. Si le produit des trois dimensions précédentes est négatif, la tendance devient répulsion.
Nous observerons ici que cette tendance est la même et de même signe pour les deux plans; car, les deux premiers facteurs étant q — q^ et {(q-^qi) pour le premier plan, leur produit est ^(7^— q\). Le produit analogue pour le second plan est ^(q'"^ ~ q'^)\ ainsi, la largeur des deux plans étant supposée la même, les deux prismes fluides dont les
poids égalent leurs tendances l'un vers l'autre sont égaux si q^ — q\ est égale à q- — q'^\ or cette égalité résulte de l'équation (r), qui, en substituant pour sincT et sintr' leurs valeurs \ — y,q\ et i — ay',-, devient
a\q'^-q\) = Oi[q'^-~q^].
Ainsi, quoique les deux plans n'agissent l'un sur l'autre que par l'action capillaire d'un fluide intermédiaire, cependant cette action réciproque est telle, que l'action est égale à la réaction.
Lorsque les deux plans sont très-rapprocliés, z est très-peu différent de q, en sorte que, si l'on fait
s' sera une très-petite quantité, dont on pourra négliger le carré. On
aura ainsi
Z := sinro — naqz' ,
et par conséquent
dz =
dz'--
dz
~ locq'^
l'équation
deviendra ainsi
dx =
ZdZ
iqsjx-Z"-
ce qui don
me,
en
intégrant.
>nsl.
ia.q
Pour déterminer la constante, on observera que y est nul avec z' et qu'alors Z = sinnr; on a donc
COSCT
consl.= —
ia.q
De plus, 2/ étant la distance mutuelle des plans, on a, lorsque 7= 2/, :; égal à q', et par conséquent Z = sinci'; donc
, COSBj' — COSCJ
ixq et, par conséquent,
COSCt'— COSGJ
La hauteur du fluide entre les plans est donc en raison inverse de leur distance mutuelle. On peut conclure de cette analyse le théorème suivant :
Lorsque les plans sont très-rapprochès, l'élévation da fluide entre eux est en raison inverse de leur distance mutuelle, et elle est égale à la demisomme des élévations qui auraient lieu, si Von supposait d'abord le premier plan de la même matière que le second, et ensuite le second de la même matière que le premier. On doit observer de supposer l'élévation négative lorsqu'elle se change en abaissement.
Ce théorème est un corollaire de celui que nous avons donné précédemment sur l'élévation du fluide entre deux surfaces prismatiques de matières diff'érentes et dont l'une est comprise dans l'autre.
On voit, par ce théorème et par celui que nous avons énoncé ci-dessus, que la force répulsive des plans est beaucoup plus faible que la force attractive qui se développe lorsque les plans sont très-rapprochés, et qui doit les porter l'un vers l'autre d'un mouvement accéléré. Dans ce cas, l'élévation du fluide entre les plans est très-grande relativement à son élévation près des mêmes plans à leur extérieur ; en négligeant donc le carré de cette dernière élévation par rapport au carré de la première, le prisme fluide dont le poids exprime la tendance d'un des plans vers l'autre, en vertu du premier des deux théorèmes précédents, sera égal au produit du carré de l'élévation du fluide intérieur par la demi-largeur des plans dans le sens horizontal. Cette élévation étant, par le second de ces théorèmes, réciproque à la distance mutuelle des plans, le prisme sera proportionnel à leur largeur horizontale, divisée par le carré de cette distance; la tendance des deux plans l'un vers l'autre sera donc en raison inverse du carré de leur distance, et, par conséquent, elle suivra la loi de l'attraction universelle, loi que paraissent suivre toutes les attractions et les répulsions qui s'exercent à des distances sensibles, telles que l'électricité et le magnétisme.
Désirant de reconnaître par l'expérience le phénomène singulier de la répulsion des plans, qui se change en attraction par leur rapproche-
OEuvres de L. — IV. 5^
ment, j'ai prié M. Haûy de faire quelques expériences sur un résultat aussi curieux de la Théorie de l'action capillaire. Il en a fait plusieurs en employant des plans d'ivoire, qui, comme on sait, est mouillé par l'eau, et des plans de talc laminaire, corps dans lequel le toucher indique une sorte d'onctuosité qui l'empêche de se mouiller. Ces expériences ont confirmé pleinement le résultat de la théorie, comme on le voit par la Note suivante qu'il m'a communiquée.
« On a suspendu à un fil très-délié une petite feuille carrée de talc laminaire, de manière qu'elle fût plongée dans l'eau par le bas. On a plongé dans la même eau, et à la distance de quelques centimètres, la partie inférieure d'un parallélépipède d'ivoire, en sorte qu'une de ses faces fût parallèle à la feuille de talc, en la maintenant toujours dans une situation parallèle à cette feuille, et en arrêtant le parallélépipède par intervalles, afin d'être assuré que l'effet du mouvement qu'il pouvait imprimer au fluide était insensible dans l'expérience. Alors cette feuille s'est éloignée du parallélépipède, et lorsqu'on continuant de faire mouvoir celui-ci, toujours avec une extrême lenteur, il n'y a plus eu qu'une très-petite distance entre les deux corps, la feuille de talc s'est approchée tout à coup du parallélépipède et s'est mise en contact avec lui. En séparant alors les deux corps, on a trouvé le parallélépipède d'ivoire mouillé jusqu'à une certaine hauteur au-dessus du niveau de l'eau, et, en recommençant l'expérience avant de l'avoir essuyé, l'attraction a commencé plus tôt, et quelquefois elle a eu lieu dès le premier instant, sans être précédée d'une répulsion sensible. Ces expériences, répétées plusieurs fois et avec soin, ont toujours donné les mêmes résultats. »
Lorsque le plan d'ivoire est très-humecté, l'eau qui recouvre sa surface forme un nouveau plan qui attire la lame de talc, et relativement auquel l'angle 6' de la formule {t) est le plus grand possible et égal, par le n^ 12 de la Théorie de l'action capillaire, au quart de la circonférence. La valeur de 2/, donnée par cette formule, valeur qui exprime la distance des plans où l'attraction commence, devient donc plus grande, conformément à l'expérience. De plus, il peut arriver que, par
l'effet du frottement du fluide contre la lame de talc lorsqu'il redescend après s'être élevé entre les plans très-près du contact, l'angle G devienne nul ou insensible, de même que l'on observe l'angle semblable relatif au mercure diminuer dans le baromètre lorsqu'il descend; l'expression de il devient alors infinie, «t l'attraction n'est précédée d'aucune répulsion sensible.
Sur l'adhésion des disques à la surface des fluides.
Lorsqu'on applique un disque sur la surface d'un fluide stagnant dans un vase d'une grande étendue, on éprouve pour l'en détacher, même dans le vide, une résistance d'autant plus considérable que la surface du disque est plus grande. Le disque, en s'élevant, soulève une colonne fluide, qui le suit jusqu'à une certaine limite, où elle s'en sépare pour retomber dans le vase. A cette limite, la colonne pourrait être maintenue en équilibre, si la force qui soulève le disque était exactement celle qui convient à cet état d'équilibre, et il est visible que cette force doit pour cela égaler les poids du disque et de la colonne élevée. L'adhésion du disque au fluide est ainsi un phénomène capillaire. Mais, pour l'établir incontestablement, je vais déterminer cette force par l'Analyse et la comparer à l'expérience.
Considérons une section de la surface de la colonne par un plan vertical passant par le centre du disque, supposé circulaire. Cette section sera la courbe génératrice de la surface produite par la révolution de la courbe autour de la verticale passant par le centre du disque. Soient / le rayon du disque et / + j la distance à cette verticale d'un point quelconque de la section dont z est la hauteur au-dessus du niveau du fluide. L'équilibre de la colonne donnera, par la Théorie de l'action capillaire (n° 4), en observant qu'ici ^ est nul,
dy'^ I dy
2(XZ.
^) \'^dr^
Pour intégrer cette équation, nommons u l'angle que le côté de la section génératrice forme avec la ligne horizontale menée de l'extrémité inférieure de ce côté à la verticale qui passe par le centre du disque.
On aura
dz
l'équation précédente deviendra ainsi , X ^^ sincT
en la multipliant par dz ou par — dyiaLngvs et en l'intégrant, on aura
rdz
*dz sinvs coscï ■+- / — j = const. — oiz-
Supposons que l'intégrale commence avec z, et observons que, z étant nul, le côté de la section coïncide avec la surface de niveau, ce qui rend cr nul, et par conséquent costT = i; nous aurons const. = i; donc
sincj
XZ' = I — C0S5T
/dz sir
Lorsque le disque est fort large, / est une quantité considérable par rapport à -=•, on aura kinsi une première valeur approchée de z en
négligeant, dans l'équation précédente, l'intégrale — j-j-^^, ce qui donne
z= -— sm^tfj.
On pourra donc substituer cette valeur de z dans l'intégrale — / -J-^ qui devient par là
A rdw sinz^\
rCTCOS^inr
Cette intégrale, prise depuis cj = o, est égale à
L'élément de celte dernière intégrale n'est jamais infini; car, quoique
^ devienne infini lorsque u est nul, puisqu'il est égal à — -^ — ~ ou
à —= . , , cependant, comme il est multiplié dans rinté£?rale
2y/.2a sin^GJ f ' 1 &
précédente par </ct(i — cos^^ct), le coefficient de dvs dans ce produit n'est jamais infini. En négligeant les termes divisés par (/h-j)^ relativement aux termes divisés par l-+-y, on aura
Jz sinrn 'i\li{\ — cos''4i
l+r 3(/+j)Va
L'intégrale doit être prise depuis u = o jusqu'à cy = 71: — cj', u' étant l'angle que le côté extrême de la section génératrice forme avec la ligne menée sur la surface inférieure du disque jusqu'au centre de cette surface. En nommant donc z' la valeur extrême de z ou la hauteur entière de la colonne soulevée par le disque, l'équation [t) donnera
d'où l'on tire, à fort peu près.
cosim —
3/acos:7Cj'
Pour avoir le volume entier de la colonne soulevée, il faut d'abord multiplier cette valeur de z' par la surface inférieure du disque ou par 7c/^, ajouter ensuite à ce produit le fluide qui environne le cylindre fluide dont la base supérieure est la surface inférieure du disque. Ce dernier volume est égal à l'intégrale — 27: f[l-+-y)zdy, prise depuis cy = o jusqu'à cy = 7T — cj'; on aura ainsi, pour l'expression du volume
entier de la colonne soulevée,
"'^vl
^^^^^- 3acosiM' -'^^ni + r)zdr.
On peut déterminer rigoureusement cette dernière intégrale de la manière suivante.
L'équation [s), multipliée par {l-^y)dy, donne, en l'intégrant,
— 7.xJ[l-\-y^]zdy=: (/ + /) sinïîy + const.
Pour déterminer la constante, nous observerons que l'intégrale doit être prise depuis ct = o jusqu'à cj = tc — ct' et que {l-\-y) sincr est nul avec cT. En effet, /-t-y devient infini lorsque vs est nul; en réduisant donc son expression dans une série ascendante par rapport à cr, le premier terme de cette série sera de la forme Au"'". De plus, z étant nul avec cT, si l'on réduit pareillement son expression dans une série ascendante en cr, le premier terme sera de la forme A't/', r et r' étant positifs. L'équation
dz
donnera donc, en n'ayant égard qu'à ces premiers termes et observant que tangcj devient ct dans le cas de zs très-petit,
r'A'cï^
d'où l'on tire, en comparant les exposants de ct.
(/-f-j')sinc7 deviendra donc Au'', en substituant Acr"'" pour j et u pour sintj; (/+j)sinny est donc nul avec cr, et par conséquent la constante de l'intégrale précédente est nulle. On aura donc, en observant qu'à la fin de l'intégrale u devient r — n' et que y est nul,
— -27:/ {l -h y] z dy ■= - 1
sintij
Le volume entier de la colonne soulevée sera, par conséquent,
=— = i, i — A\ — 6sininj'+5sin3icj .
y/a 3acos-2-CT ^ ^ '
On aura la valeur de - au moyen de l'équation suivante, donnée par le n° 5 de ma Théorie,
