cosct' r

- M — 7^ T— 7 (' — sinGj')2(n- 2sincT') ,

h étant ici le diamètre intérieur du tube et q étant la hauteur à laquelle le point le pliis bas du fluide intérieur s'élève au-dessus du niveau; dans le cas où le fluide s'abaisse au-dessous du niveau, q devient négatif et exprime la dépression du point le plus élevé du fluide intérieur. Cette équation donne, à fort peu près,

a. acoscT

7 Mf + â -> — 7 (i — sinrD']2(i + asinro')

Ainsi, pour avoir des élévations réciproques aux diamètres intérieurs des tubes, il faut ajouter aux élévations observées q le sixième du diamètre multiplié par le facteur

(i — sinnr'l^fi + i sin^n')

facteur qui se réduit à l'unité lorsque l'angle w' est nul. Cette correction est nécessaire dans des expériences faites avec une grande précision, comme celles que nous allons rapporter. M. Gay-Lussac a bien voulu les entreprendre à ma prière; il a imaginé, pour mesurer les ascensions et les dépressions des fluides dans les tubes capillaires transparents, un moyen qui donne à ses expériences la précision des observations astronomiques, en sorte que l'on peut en adopter les résultats avec confiance. Les tubes ont été choisis bien calibrés, et leurs diamètres intérieurs ont été mesurés au moyen du poids d'une colonne de mercure qui les remplissait, ce qui est le moyen le plus exact de déterminer ces diamètres.

Les physiciens ne sont pas d'accord sur l'élévation de l'eau dans les tubes capillaires de verre d'un diamètre donné; leurs résultats à cet égard diffèrent au moins du simple au double. Ces différences tiennent principalement au plus ou moins d'humidité des parois des tubes; quand ils sont très-humectés, comme ils l'ont toujours été dans les expériences suivantes, l'eau s'élève toujours à fort peu près à la même hauteur dans un même tube. M. Gay-Lussac a observé, dans iin tube de verre blanc dont le diamètre intérieur était de i™", 29441» l'élévation du point le plus bas de la surface intérieure de l'eau au-dessus du niveau de ce liquide dans un vase très-large, dans lequel le tube plongeait par son extrémité inférieure. Il l'a trouvée, par plusieurs expériences qui s'accordaient entre elles, égale à 23™™,i634, la température étant de 8°, 5 environ du thermomètre centigrade. Ici l'angle tj' est nul, l'eau mouillant parfaitement les parois du tube. En augmentant cette élévation du sixième du diamètre du tube, on aura 23""°, 3791. Cette quantité, multipliée par le diamètre du tube, donnera, par ce qui

précède, la valeur de -> et l'on trouvera

ce

Dans un second tube de verre, dont le diamètre intérieur était de i°"°,9o38i, M. Gay-Lussac a observé, à la même température, l'élévation du point le plus bas de la surface intérieure au-dessus du niveau de i5"'™,586i, ce qui donne 1 5""°, 9034, en lui ajoutant le sixième du diamètre du tube. L'élévation du premier tube corrigée donne , pour l'élévation corrigée du second tube, i5"™,896, ce qui diffère très-peu de l'élévation qui résulte de l'observation, et ce qui prouve : 1° que les élévations corrigées sont à très-peu près réciproques aux diamètres des tubes; 2° que, dans des expériences très-précises, la correction faite par l'addition du sixième du diamètre des tubes est indispensable.

On pourrait encore déterminer la valeur de -? au moyen de l'élévation du point le plus bas de la surface dé l'eau qui s'élève entre deux

lames de verre verticales et parallèles, trës-rapprochées l'une de l'autre et plongeant par leurs extrémités inférieures dans un vase plein de ce liquide. M. Gay-Lussac a trouvé, par le résultat moyen de cinq expériences peu différentes entre elles, cette élévation égale à i3™™,574> la distance mutuelle des lames étant de i°"°,o69. Cette distance était exactement égale au diamètre d'un fil de fer passé à la filière, et, pour mesurer ce diamètre, on a placé les unes à côté des autres plusieurs portions du même fil, qui, par la somme de leurs diamètres, formaient une largeur considérable, que l'on a mesurée avec soin et que l'on a ensuite divisée par le nombre de ces diamètres. Les lames, parfaitement planes, avaient été très-humectées; la température était de i6 degrés pendant les expériences. Si l'on ajoute à l'élévation observée le produit de la

demi-distance des lames par i — j-, tz étant la demi-circonférence dont

le rayon est l'unité, et si l'on multiplie la somme par la distance i™™,o69, on aura, par le n° 8 de ma Théorie de l'action capillaire, la

valeur de - • On trouve ainsi

Ce résultat doit être un peu augmenté, pour le réduire à la température de 8**, 5 ; car on a vu précédemment que l'élévation croît avec la densité du liquide. Il difïère peu du résultat i5™"'ï,i3, que donne l'élévation de l'eau dans un tube de verre, ce qui fournit une confirmation nouvelle de la théorie suivant laquelle l'élévation entre des plans parallèles doit être environ la moitié de l'élévation dans les tubes capillaires d'un diamètre égal à la distance des plans. Nous adopterons ici de préférence la valeur de - conclue des expériences sur le tube le plus étroit, et nous supposerons ainsi, à la température de 8°, 5,

Cela posé, la formule précédente, qui détermine le volume du liquide élevé, donne, en ayant égard à ses deux termes et en prenant pour

OEuvres de L. - \S . 6o

unité le centimètre cube, le volume du liquide élevé par un disque de verre blanc circulaire et dont le diamètre est de ii8"™,366, égal à

Le poids du centimètre cube d'eau à son maximum de densité est le gramme; mais les expériences précédentes ayant été faites à la température d'environ 8°, 5, le centimètre cube d'eau pèse un peu moins que le gramme. En ayant égard à cette correction, on trouve le poids de la colonne d'eau soulevée, au moment où elle est prête à se détacher, égal à SgS'", 5873. M. Gay-Lussac a trouvé, par plusieurs expériences qui diffèrent très-peu entre elles, ce poids égal à 59s^4o; ce qui s'accorde aussi bien qu'on peut le désirer avec le résultat de l'Analyse.

De l'alcool, dont la pesanteur spécifique à 8 degrés de température, comparée à celle de l'eau à la même température, était 0,81961, s'est élevé, dans le premier des deux tubes précédents, à la hauteur de 9™°S 18235, la température étant toujours de 8 degrés. L'alcool mouillant parfaitement le verre, il faut ajouter à cette hauteur le sixième du diamètre du tube. Ce nombre, multiplié par le diamètre du tube,

donnera la valeur de - relative à cet alcool, et l'on aura a

- =ia'"""i, 1649.

Au moyen de cette valeur, on aura l'élévation de l'alcool dans le second tube, corrigée par l'addition du sixième du diamètre du tube,

en divisant - par le diamètre de ce tube, ce qui donne 6"™, 38976

pour cette élévation, que M. Gay-Lussac a trouvée, par l'expérience, égale à 6"", 40127. Le peu de différence de ces deux valeurs prouve que les élévations corrigées de l'alcool dans divers tubes capillaires très-étroits sont réciproques aux diamètres de ces tubes. En employant

la valeur précédente de -> on trouve le volume d'alcool élevé par le

disque de verre de la première expérience égal à

le centimètre cube étant pris pour unité. Cette valeur, multipliée par la pesanteur spécifique 0,81961 de cet alcool, donne le poids de ce volume d'alcool égal à celui de 31*^*^,1469 d'eau à la température de 8 degrés, et ce dernier poids est égal à Sis»", i435. Tel est donc le poids nécessaire pour détacher de l'alcool le disque de verre précédent, la température étant de 8 degrés. M. Gay-Lussac a trouvé, par l'expérience, ce poids égal à 3i^'",o8 à la même température, ce qui diffère très-peu du résultat de l'Analyse.

De l'alcool, dont la pesanteur spécifique à 10 degrés de température, et comparée à celle de l'eau à la même température, était 0,8595, s'est élevé dans le premier tube à 9™'", 30079, ce qui donne 9™™, 5x649

pour son élévation corrigée; d'où l'on conclut la valeur de - relative à cet alcool égale à i2™'°*î,3i9o5. Cette valeur de - donne le poids

nécessaire pour détacher le disque précédent de la surface de cet alcool égal à 32S'',86o, et l'expérience a donné à M. Gay-Lussac 32^'', 87, ce qui s'accorde exactement avec le calcul.

Enfin, de l'alcool dont la densité était 0,941 53 à 8 degrés de température s'est élevé dans le tube précédent à 9™™, 99727, ce qui donne

__j3mmq 2ig8, ct par conséquent l'adhésion du disque précédent

égale à 37^'", 283. M. Gay-Lussac a trouvé par l'expérience, à la même température, cette adhésion égale à 37^'', i52.

De l'huile de térébenthine, dont la pesanteur spécifique, à 8 degrés de température et comparée à l'eau à la même température, était 0,869458, s'est élevée dans le premier tube à 9"™, 95 159, ce qui

donne 10™", 16729 pour son élévation corrigée, et - égal à i3™™*ï, 1606.

De là on conclut l'adhésion du disque précédent à la surface de ce liquide égale à 34^%35o. M. Gay-Lussac a trouvé, à la même tempéra-

ture de 8 degrés, cette adhésion égale à 34^'", io4, ce qui diffère trèspeu du résultat précédent.

M. Gay-Lussac a fait plusieurs expériences sur l'adhésion du disque précédent au mercure. Mais, pour les comparer à la théorie, il faut connaître : i** l'élévation du mercure dans un tube de verre d'un diamètre donné; 2° l'angle que la surface du mercure forme avec le verre au point de contact. L'une et l'autre de ces données sont très-difficiles à déterminer par l'expérience, à cause du frottement du mercure contre la surface du verre, frottement qui met obstacle à l'élévation ou à la dépression de ce liquide dans les tubes capillaires et qui peut changer considérablement l'angle d'inclinaison de sa surface à celle du verre. La comparaison de plusieurs phénomènes capillaires observés avec la

théorie m'a donné, par un résultat moyen, la valeur de - relative au

mercure, à la température de 10 degrés, égale à i3 millimètres carrés, et l'angle aigu formé par les parois du verre et par un plan tangent à la surface du mercure, à l'extrémité de la sphère d'activité sensible de ces parois, égal à 48 degrés. Je ferai donc usage de ces données, que des expériences plus nombreuses peuvent rectifier encore. Elles donnent z5'= 162° et ^ct'= 76°. On trouve ainsi, par la formule précédente, que le poids de la colonne de mercure soulevée par le disque de verre précédent est de 207^'', o. M. Gay-Lussac a trouvé de très-grandes différences entre les résultats de ses expériences sur cet objet. Dans ses expériences sur l'adhésion d'un disque de verre à la surface des liquides, il suspendait le disque au fléau d'une balance très-exacte, qui l'enlevait verticalement au moyen de poids très-petits ajoutés, successivement et avec lenteur, dans le plateau de l'autre fléau de la balance. La somme de ces petits poids, au moment où le disque se détachait du liquide, indiquait le poids de la colonne entière soulevée. En opérant ainsi sur le mercure, il a observé que cette somme était plus ou moins grande, suivant la lenteur avec laquelle il ajoutait ces poids successifs, et, en les ajoutant à de très-grands intervalles, il est parvenu à élever leur somme de i58 grammes à 296 grammes. Elle

dépend, comme on le voit par la formule précédente, de l'angle aigu que la surface du mercure forme avec celle du verre, et elle est à fort peu près proportionnelle au sinus de la moitié de cet angle; or on sait, par l'expérience journalière du baromètre, que cet angle peut augmenter considérablement lorsque le mercure descend avec une grande lenteur, le frottement du liquide contre les parois du tube empêchant la descente des parties de ce liquide contiguës à ces parois. Le frottement empêche également la colonne de mercure de se détacher du disque. Lorsqu'elle s'en détache, elle commence à quitter le bord du disque; ensuite elle se rétrécit de plus en plus, près du disque, jusqu'à ce qu'elle le quitte. Le frottement du mercure contre la surface inférieure du disque doit donc empêcher cet effet et diminuer, comme dans la descente du baromètre, l'angle aigu du contact de la surface du disque avec celle du mercure, et si toutes les molécules de la colonne liquide ont le temps nécessaire pour s'accommoder au nouvel état d'équilibre qui en résulte, on conçoit que l'on peut accroître considérablement le poids entier nécessaire pour détacher le disque de la surface du mercure. Ce poids s'élèverait à près de 4oo grammes si l'angle de contact était droit.

Les disques des diverses substances qui sont parfaitement mouillées par un liquide doivent opposer la même résistance à leur séparation de ce liquide, si. leurs diamètres sont égaux; car alors cette résistance est produite par l'adhésion du liquide avec lui-même, c'est-à-dire avec la couche du liquide qui tapisse la surface inférieure du disque. Pour vérifier ce résultat, M. Gay-Lussac a mis en contact avec l'eau un disque de cuivre dont le diamètre était de ii6°'™,6o4; et'il a trouvé, à la température de i8°,5, le poids nécessaire pour l'en détacher égal à 57«^945.

Si l'on suppose que, relativement au cuivre, la valeur - est la même

que relativement au verre, c'est-à-dire égale à 3o™™^,262i , on trouve, par la formule précédente, le poids de l'eau soulevée par le disque égal à 57^'', 757, ce qui diffère extrêmement peu du résultat de l'expérience.

Les expériences sur l'adhésion des disques de diverses substances à la surface d'un même liquide peuvent déterminer les rapports de leurs forces attractives sur ce liquide. En effet, si l'on emploie des disques circulaires d'un diamètre très-large, cette adhésion sera, à très-peu près, par ce qui précède, égale à

Tr/V^-cosinr'.D'

D' étant la densité du liquide; en nommant donc/? le poids nécessaire pour séparer le disque de la surface du liquide, la quantité précédente sera égale à/>. Les quantités D' et a étant uniquement relatives au liquide, les valeurs de cos^cy', relatives aux disques d'un même diamètre et de diverses substances, sont proportionnelles au poids /?; cos^^cy' est donc proportionnel à/?^; mais on a, par ce qui précède, p = p'cos^jcj'; ainsi, p' étant relatif au liquide, les valeurs de p correspondantes aux divers disques sont proportionnelles aux carrés des poids correspondants p. Ces valeurs sont, comme on l'a vu, relatives à des volumes égaux; il faut les diviser par les densités respectives des substances pour avoir les valeurs relatives à des masses égales. Elles seraient .proportionnelles aux forces attractives, si la loi d'attraction était la même pour les diverses substances. Dans ce cas, les attractions respectives de ces substances sur le liquide sont, à égalité de volume, comme les carrés des poids nécessaires pour détacher les disques de sa surface.

Lorsqu'un liquide mouille parfaitement les disques, les expériences sur leur adhésion à sa surface n'indiquent, comme on vient de le voir, que l'attraction du liquide sur lui-même. Mais quand il ne mouille pas parfaitement les disques, son frottement contre leur surface inférieure produit de grandes variétés dans les résultats des expériences d'adhésion, ainsi qu'on l'a vu relativement aux disques de verre appliqués à la surface du mercure. Il devient alors difficile de distinguer le résultat qui aurait lieu sans cette cause d'anomalie, et par conséquent d'avoir l'attraction du disque sur ce liquide.

On a vu précédemment que l'angle de contact du mercure avec le

a» SUPPLEMENT AU LIVRE X. 479

verre dans l'eau était nul, en sorte que la surface de mercure, recouverte d'eau dans un tube capillaire de verre, forme une demi-sphère convexe. Il suit de là que, si l'on applique un disque de verre à la surface du mercure et qu'ensuite on recouvre d'une couche d'eau le disque et le mercure du vase, on aura cj'=tc, ce qui rend nulle l'expression précédente de la colonne de mercure élevée par le disque, qui ne doit, par conséquent, opposer aucune résistance à sa séparation du mercure. C'est, en effet, ce que M. Gay-Lussac a reconnu par l'expérience.

De la figure d'une large goutte de mercure, et de la dépression de ce fluide dans un tube de verre d'un grand diamètre.

Imaginons, sur un plan de verre horizontal, une goutte de mercure large et circulaire. La section de sa surface par un plan vertical mené par son centre sera très-peu courbe à son sommet. En s'éloignant de ce point, sa courbure augmentera de plus en plus, jusqu'à ce que sa tangente soit verticale. A ce point, la courbure et la largeur de la section seront à leur maximum. Au-dessous de ce point, elle se rapprochera de son axe et coïncidera enfin avec le plan de verre, en formant avec lui un angle aigu. Déterminons l'équation de cette courbe.

Nommons b le rayon osculateur de la courbe au sommet; z l'ordonnée verticale d'un de ses points, l'origine des z étant à ce sommet; nommons encore u l'ordonnée horizontale ou la distance de ce point à l'axe des z passant par le sommet; on aura, par le n° 4 de ma Théorie sur l'action capillaire,

d^z I dz

, , du'^ u du 2.