CZ = -T

Lorsque la goutte est fort large, on peut, dans une grande étendue de sa surface, négliger les troisièmes puissances de -r--» et alors l'équa-

tion précédente se réduit à

, , d'^z dz iu

^ du^ du 0

Cette équation différentielle, quoique beaucoup plus simple que l'équation (r), ne paraît pas cependant intégrable par les méthodes connues; mais je trouve que l'on y satisfait en faisant

l'intégrale étant prise depuis «p nul jusqu'à ç égal à la demi-circonférence 77. En effet, on a alors

-7^ = -^ fdcp J-ïôc ces© . c"^*"**"?, du aOTZ ^* ^

j-4 = -r- /<^9 • 2acos2 9.c"^*~'=<'*ï; du^ ccb-K '' ^ ^ '

le premier membre de l'équation (s) devient ainsi

— T— /fi?9('2aMCOs2<p + \/2acos(p — 2 a a) c"^*"*^*"»,

et, en intégrant, il devient

— r- s/2asin9.c"^*"'^*»«''+const.

L'intégrale devant être prise depuis <p = o, la constante est nulle. De plus, l'intégrale devant s'étendre depuis 9 = 0 jusqu'à <p = -jt, elle est encore nulle à cette seconde limite; ainsi l'équation (s) est satisfaite. La valeur précédente de z n'est pas l'intégrale complète de cette équation; mais elle suffit dans le cas présent où 2 et -^ sont nuls avec u.

costp est égal à i — 2sin^|(p, ce qui change l'expression de z en celle-ci :

Lorsque 2wv'2a est un nombre considérable, ce qui a lieu vers les bords d'une large goutte, la valeur de c"^"'^^*""'^'^ devient très-petite et insensible, dans le cas où 9 a une valeur sensible; en mettant donc alors l'intégrale /^c"^"^^^'"'^^ sous cette forme

/</(p cos|9(i + i sin2i(p)c-'"^^''"'^^

on pourra négliger sans erreur sensible ce dernier terme. Ainsi, en faisant

on aura

z =. I 2 dtc-^^ 1 H ;= ) 7- •

L'intégrale relative à t doit être prise depuis i- = o jusqu'à t-=z iu\ji(i\, mais c"^"^^" étant, par la supposition, une quantité insensible, on peut prendre cette intégrale depuis t = o jusqu'à l'infini, et alors on a

partant,

ubsj^T.usJo.o:\ 8u\/2acJ «^

Reprenons maintenant l'équation différentielle (r) et faisons z = q q étant la valeur entière de z\ l'équation (r) deviendra

d^z' } dz^ ' •

du'^ u du ,2 3 -\ p -hi(xq — loiz = — j'

Nommons, comme précédemment, ct l'angle que la tangente à la courbe forme avec le rayon m; on aura

dz'

OEuvrts de L. — IV. 6l

l'équation précédente devient ainsi

dxn I . 2 .

-y- coscj H sincT= aacf 4- 7 — laz'-,

du u ^ 0

en multipliant les termes de cette équation par — c?m tango ou par dz', on aura

dz' 2

— c?cr5SinGjH sinGJ= 0.0.0 dz' -v- -j dz' — locz'dz' ,

et, en intégrant,

/dz' ?\ï\TS 1 2\ , ., 3= I 2a^ 4- T j-s — a2'- + consl.

Pour déterminer la constante, nommons cr' ce que devient cj lorsque :;' est nul ; tr' sera l'angle obtus formé par la surface de la goutte avec le plan. En faisant commencer l'intégrale de l'équation précédente avecz', on aura const. = coscj'. Nous négligerons d'abord cette intégrale et le

terme -rz'; nous aurons ainsi

coscï = '2xqz' — az'-+ cosnj'.

Nous pouvons, dans une première approximation, supposer z'=zq, lorsque la tangente est horizontale ou lorsque cosct = i; nous aurons

ainsi

1 — coscj'= xq^,

ou

partant,

q — z = 1/ - sm^cT = 2, ce qui donne

dz' = i / - dra cosixs ;

l'intégrale / ^ ^'"^ devient ainsi

\/ocJ u

L'intégrale précédente est insensible lorsque l'angle c; est très-petit; car,

quoiqu'alors le dénominateur de la différentielle puisse être

très-petit et même nul, cependant la différentielle elle-même est trèspetite et beaucoup moindre que dans le cas où l'angle cj n'est pas trèspetit, comme il est facile de s'en assurer. Dans ce cas, la valeur de u est à fort peu près égale au demi-diamètre de la section circulaire de contact du mercure avec le plan. Désignons par /ce demi-diamètre; on pourra donc, sans erreur sensible, supposer u = /dans l'intégrale précédente, et alors, en la prenant depuis t? = u', on aura

/</2'sincT 2 /a , „, ,i ,x

Par conséquent, on aura

cgsgtH- 07 \/- (cos^^Gî — cos^-l^7n') = (i(xq -h t)^' — oc z'^ -\- cos us';

en substituant pour z' sa valeur q ~ z, on aura

-.y - (cos^^TO — cos^^cj') = a^2 ^ i^q z) — txz'^ h- cosnj'.

COSGT

Maintenant, z étant nul avec cr, on aura cr^ égal à une série ascendante des puissances de s; en la substituant dans l'équation précédente et comparant entre eux les coefficients de ces puissances, le coefficient indépendant de z donnera