LIVRE PREMIER

à laquelle il est élevé, le terme moyen du développement sera, lorsqu'il y en a un.

et, pour qu'il y ait un terme moyen, in' — 1)5' doit être un nombre pair, c'est-à-dire que l'un ou l'autre au moins des nombres /i'— i et s' doit être pair.

36. L'analyse précédente donne encore le coefficient de a^ dans le développement du polynôme

Pour l'obtenir, on observera que le coefficient de oT dans le développement de ce polynôme est le même que celui de a~^; en nommant

donc A^ ce coefficient, en faisant a = c^^~^ et réunissant les deux termes du développement relatifs à «"■ et a"'", on aura 2A^cosrcy pour leur somme. Maintenant, si l'on multiplie ce polynôme ou sa valeur

. ^ J par duscoslvs, et qu'on intègre le produit depuis cr = o

jusqu'à CT = -, il est clair que tous les termes disparaîtront, excepté celui où rest égal à /; l'intégrale se réduira donc à 2.Aifdtscos^lvj, ce

qui donne

(. 2n-F I \* sin cj \ ■ r— j / • sinJcT /

Pour intégrer cette fonction, on fera, comme ci-dessus,

(. 2« -M \* ^ sin cj \

En prenant les logarithmes et développant par rapport aux puissances de cî, on aura, par le retour des suites, pour ct, une expression de cette

forme,

GJ^ ^^^ =.(l4-Af=>-f-...),

\Jn[n -+- i)s

ce qui transforme l'intégrale précédente dans celle-ci

!.« + .)' iè__j.^^\UJ6-\ ^.,.^, ^ , , „ ^ )

l'intégrale étant prise depuis t nul jusqu'à t infini. On peut facilement l'obtenir par le n*" 26, et l'on trouve, en n'ayant égard qu'à son premier terme, pour sa valeur,

\Jn[n-\-i).isT:

C'est la valeur cherchée du coefficient de a^ dans le développement du polynôme, lorsque sa puissance s est très élevée.

Cherchons maintenant la somme de tous ces coefficients, depuis celui de a~^ inclusivement, jusqu'à celui de «' inclusivement, / étant un grand nombre, mais d'un ordre inférieur à s. Pour cela, nous observerons que l'on a, par le n** 10,

lyi

dyi

~~\dl) :i\dl ) 11 dl '

d'où l'on tire, par le numéro cité,

^Xi = fyi ^^ yi-^ t/ + • • • -+- const.

En prenant l'intégrale depuis le ternie correspondant à / nul inclusivement, on aura la somme des valeurs de j^, depuis cette origine jusqu'au terme j^ exclusivement. La constante arbitraire sera égale alors à

^^ yo— ~ -^ — •••'^ aiïisi la somme des valeurs de yi, depuis /nul in-