LIVRE PREMIER

clusivement jusqu'à j; inclusivement, sera

Supposons maintenant

yi-

alors les différences de ji seront successivement d'un ordre inférieur les unes aux autres; en ne considérant donc que les trois premiers termes de la série précédente, on aura

pour la somme des coefficients des termes du développement de la puissance s du polynôme, depuis / nul inclusivement jusqu'à yi inclusivement. En doublant cette somme, et en retranchant de ce double le terme jo» on aura pour la somme des coefficients, depuis celui du terme correspondant à a~' inclusivement, jusqu'à celui du terme correspondant à é inclusivement.

37. Nous avons supposé dans les exemples précédents que les équations aux différences en y^ n'avaient point de dernier terme ; donnons un exemple d'une équation jouissant d'un dernier terme, et pour cela considérons l'équation aux différences

En faisant

on aura

p* = .r^(p(i -h x) — Jx^^x + i) É^cp + (/ -i- \]<^dx\ . .

ce qui donne d'abord, pour déterminer (p, l'équation

d'où l'on tire, en intégrant,

(iT-.r)'+'' A étant une constante arbitraire. Ensuite on a

OU

d'où l'on tire en sorte que

l'intégrale étant prise depuis a? = o jusqu'à ^ = /?. En ajoutant à cette valeur de y s celle-ci

x^~^ dx

TTZTÎ

l'intégrale étant prise depuis x nul jusqu'à x infini, et B étant une arbitraire; on aura pour l'intégrale complète de la proposée

„ r x^-^dx , .. /• x^-^dx

expression que l'on peut mettre sous cette forme

„, r x^-^dx . .. r x^-*dx

la première intégrale étant prise depuis x nul jusqu'à x infini, et la seconde étant prise depuis x =/? jusqu'à x infini. Maintenant l'intégrale de la proposée

ps = sxs+{s — i)rs+i est

■^'~ i{i-l][i --■2)...[i- s -h l]l^ Zj 1.2.3. . 5 '^J'