y i[i—\]...[i — s^\) ^ ■ r x'-*dx

d'où l'on tire

l'intégrale du numérateur étant prise depuis x^= p jusqu'à x infini, et celle du dénominateur étant prise depuis x nul jusqu'à x infini. Lorsque s et i sont de grands nombres, il sera facile de réduire ces deux intégrales en séries convergentes, par les formules des n"* 22 et 23. On aura ainsi la somme de s premiers termes du binôme élevé à une grande puissance, par une approximation d'autant plus rapide que cette puissance sera plus haute.

OF.uvres de. L. — VII. 20

Si l'on effectue les intégrations, l'équation précédente devient

^ ip + .. p

i — 5+1 P il — 5+Ii — S -\- 2

I 1-h p 1.2 IH-P)^

Le second membre de cette équation est une transformation de la somme partielle des termes du binôme {i-i-p)', transformation qui peut être utile.

De l'approximation des dijjèrences infiniment petites et finies, très élevées, des fonctions.

38. Considérons une fonction quelconque de s, que nous représenterons par 7(5). En y changeant 5 en 5 -h ;, désignons par y^ le coefficient de f dans le développement de cette fonction ; nous aurons

d^(û[z-ht] „

tétant supposé nul après les différentiations, et, comme on a

dt dz

en supposant t nul, on aura

— r^-' =1.2.3.. .s.Ys.

dz^ •'

Ainsi la recherche de la différence 5'^™^ de 9(5) se réduit à développer la fonction 9(2 h- ^) en série.

Supposons que cette fonction de t soit une puissance d'un polynôme en t, que nous représenterons par

[a ^ bt -h ct^ + . . .)V:

En exprimant par