LIVRE PREMIER

son développement en série, on aura, en prenant les différences logarithmiques,

fi{b -\-ict +. . .) ji 4- 2 j2 < + •-. + syst^-^ H- . . .

Multipliant en croix et comparant les termes multipliés par /^~', on aura

Représentons par Jx^~^c^dùc l'expression de j^; cette équation devient

En égalant séparément à zéro la partie de cette équation affectée du signe intégral, on a

ce qui donne, en intégrant,

9 = Ala

A étant une constante arbitraire. La partie de l'équation précédente hors du signe intégral donnera ensuite, pour déterminer les limites de l'intégrale.

ces limites sont donc a;= o et x égal aux diverses racines de l'équation

On aura donc, par les méthodes précédentes et par une approximation

très prompte, les coefficients des puissances très élevées de t dans le développement en série de la puissance

et par conséquent on aura les différentielles très élevées de la puissance

qui se change dans la précédente en changeant :; dans :;-+-; et faisant

Appliquons cette analyse à un exemple.

z étant le sinus d'un angle 6, on aura

</*+> 9 d^ i dz'+î ~~ dz^ ^^!f^ '

Pour avoir l'expression du second membre de cette équation, nous observerons que l'on a, par ce qu'on vient de voir,

-j— — = I .?.■--)■■■ .y ■ Vj,

dz^^i^z^ •^''

jj étant le coefficient de t' dans le développement de [i — {z -h t)'^] ^

On aura ensuite

les limites de l'intégrale étant données par l'équation

Ces limites sont