LIVRE PREMIER
Comme j? a trois valeurs, l'expression de y^ prend cette forme, par le n«29,
^^=\fxs-^dx[i-(z -{-~y~\ -i-A'fa:'-*dxïi~(z + -y~\ ",
A et A' étant des constantes arbitraires, et la première intégrale étant prise depuis x = jusqu'à ^ = o, et la seconde étant prise depuis X = o jusqu'à X =--. ~j^- Si l'on fait
Z + COSST X = 1— j
l'expression précédente de y^ devient
dis [z -{- costdY ^, /^dxs{z -h COSTsY
/^ dts[z -h cosro)^ ^, r* dm\
la première intégrale étant prise depuis ct = o jusqu'à tr égal à l'angle dont le cosinus est — z, et la seconde étant prise depuis ce dernier angle jusqu'à ct = tt. Pour déterminer les arbitraires B et B', on observera que
d'où il est facile de conclure
partant
jr,= -fdrs [z -h cosrsY,
l'intégrale étant prise depuis cr = o jusqu'à rs — r:. En prenant cette intégrale et observant que
fdrs cos2'-Gj -- -^ fdîs (c'^/^ + c-'^^^y
iz^+l "ILZA zS-2 -4- i:-^- S{S-^){S-2){S~^) ^^^
Cette expression est fort composée, lorsque s est un grand nombre ; mais alors on peut obtenir sa valeur d'une manière fort approchée, en appliquant à l'expression de y^, sous forme d'intégrale définie, les méthodes exposées ci-dessus. La fonction sous le signe intégral ayant deux maxima, l'un à l'origine de l'intégrale et l'autre à son extrémité, nous la décomposerons dans les deux suivantes
j.f= j {fdxs [z h-cosgt)*-}- {—\YJdxs[cosTs — zYI,
la première intégrale étant prise depuis vs nul jusqu'à vs égal à l'angle dont le cosinus est — z, et la seconde intégrale étant prise depuis vs nul
jusqu'à vs égal à l'angle dont z est le cosinus. Soit- — oc, et faisons
(z -4- C0SGTj*= (i -f- 2)*c-^'; on aura, en prenant les logarithmes et réduisant coscr en série,
°L 2(1 + 2) 24(i-T-z) j d'où il est facile de conclure
GJ
on aura ainsi, en observant que l'intégrale doit être prise depuis t nul jusqu'à t infini,
fdvs{z + cosro)^= — -^— (n- z) M i ^-^ — '- +. .. .
