LIVRE PREMIER
En changeant z dans — 5, on aura
/c?GT(coSTn-2)*=— |— (1-2) Ml —^—^ +.-J;
partant
fl — z) * \/2S7r
dans le cas de s très grand, cette expression se réduit à fort peu près à ce terme très simple,
Si l'on multiplie l'expression (6) de j^ par le produit i . 2 . 3 . . . ^, produit qui, par le n° 33, est égal à
s ^c~^ V27r ( 1 on aura à très peu près
rf^-^'0 ^i — z"^ s^c-
dz'+< dz' s + l
39. Lorsqu'une fonction j^ de s peut être exprimée par une intégrale définie de la forme /i»^<p dx, les différences infiniment petites et finies d'un ordre quelconque n seront, par le n*' 21,
-^ =/^^<pc?^ (log^)«,
A« ji — /^•' <p c?^ ( ^ — I )".
Si, au lieu d'exprimer la fonction de s par l'intégrale fx^d^dœ, on l'exprime par l'intégrale fc~^^(fdx, alors on a
d"rs , , /. ,
Pour avoir les intégrales 7^'^™*% soit finies, soit infiniment petites, il suffira de faire n négatif dans ces expressions. On peut observer qu'elles sont généralement vraies, quel que soit n, en le supposant même fractionnaire, ce qui donne le moyen d'avoir les diff'érences et les intégrales correspondantes à des indices fractionnaires. Toute la difficulté se réduit à mettre sous la forme d'intégrales définies une fonction de Sy ce que l'on peut faire par les n"* 29 et 30, lorsque cette fonction est donnée par une équation linéaire aux différences infiniment petites ou finies. Comme on est principalement conduit dans l'analyse des hasards à des expressions qui ne sont que les diff^érences finies des fonctions, ou une partie de ces diff'érences, nous allons y appliquer les méthodes précédentes et déterminer leurs valeurs en séries convergentes.
40. Considérons d'abord la fonction -^- En la désignant par j^, elle sera déterminée par l'équation aux différences infiniment petites
Si l'on suppose, dans cette équation, elle deviendra
d'où l'on tire, en intégrant par parties, conformément à la méthode du n° 29, les deux équations
La première donne, en l'intégrant,
Cp r= A X'~ ' ,
A étant une arbitraire. La seconde équation donne pour les limites de
