LIVRE PREMIER

l'intégrale fc~^^<fdx, x = o et ce = ^ . On aura donc, dans ces limites,

Pour déterminer la constante A, nous observerons que, ^ étant i, le premier membre de cette équation se réduit à l'unité, ce qui donne

I I fx'~* dxc-^^

on aura donc par le numéro précédent

^^' ^"?-~ fxi-' dxc-"" '

les intégrales du numérateur et du dénominateur étant prises depuis ^r nul jusqu'à x infini.

Pour développer cette expression en série, supposons

xi- \ c-^jc ( c--^ , j « — ai- < c-^« ( c-« — I ) « c- '',

a étant la valeur de x qui répond au maximum du premier membre de cette équation. Si l'on fait a? :=« +9, on aura, en prenant les logarithmes de chaque membre, et en développant le logarithme du premier dans une suite ordonnée par rapport aux puissances de 6,

les quantités «, h, h', h", . . . étant données par les équations suivantes :

ll'^-

f c-« Y n \c-"-iJ ^ 4

OF.uvres de L. — VU. 21

on aura donc, par le retour des suites,

et cette suite sera d'autant plus convergente que le nombre n sera plus considérable. En substituant cette valeur de 0 dans la fonction /c?9c-^', et prenant l'intégrale dans les limites t = — ce et/ — oo, limites qui correspondent aux limites a? — o et ^ =:^ =© , on aura

On a d'ailleurs

fx^- ' dx ir-^ = - Jx^ dx c-^,

et lorsque i est très grand, on a, par le n° 32,

fx'dxc~-^=^i ^c~'v2^(n • + •••);

en divisant donc l'une par l'autre les deux valeurs de

fxi-^dxc'-^^[c--^—iY el fxi-^dxc-^,

on aura

, , . ( \5li'^—iilili"

çi-sa [ (.-a — \\n\ 1 6 A»

i' \^ilii

Pour avoir la différence finie /z'^""* de la puissance positive*', il sulfit, par le n*' 30, de changer dans cette équation i dans — i, et l'on aura

^ngi — [s + nV — n[s + n — 1)'+ ^^^^~ ^^ [g-^ n — iV — . ..

ni -, r;