LIVRE PREMIER

fractionnaire, comme il est facile de s'en convaincre. Quant au produit {i — n-h i)(« — n-h i)...i, il est facile de l'obtenir en série convergente, par le n^SS.

La formule précédente est une application très simple de l'équation

\-ys = \c " -c '' J ,

que nous avons donnée dans le n° 10; car, en développant le second membre de cette équation et faisant j^ = s' , on obtient directement cette formule que nous avons conclue des passages du réel à l'imaginaire, ce qui confirme la justesse de ces passages.

41. Les formules ((/.') et ((;/') des numéros précédents supposent n égal ou moindre que i. En effet, si l'on considère l'expression

rdxc'" J x^+'~~

dont le développement a produit ces formules, on voit que, les limites des intégrales du numérateur et du dénominateur étant déterminées par le numéro précédent, en égalant à zéro le produit des quantités sous le signe intégral par ce, ces limites seront toutes imaginaires lorsque i sera plus grand que n, au lieu que, dans le cas où i sera moindre que n, les limites de l'intégrale du numérateur seront réelles, tandis que celles du dénominateur seront imaginaires ; il faut donc alors ramener ces dernières limites à l'état réel. Pour y parvenir, nous observerons que l'on a généralement

jx xc -- ^•^^•^ jj ^^-.^ 2). . .(f + r)* Si l'on fait dans cette expression «négatif et égal à — r , m étant

moindre que n, on aura

x'-+-' mi m\ I rri

or on a, par le n** 33, les intégrales étant prises depuis x nul jusqu'à

.T infini,

m\ f m\ . fx^dxc'-^

nl\ ni r 'IL

J x" dx c-'^

i étant ici positif : c'est l'expression de / — j:^- dont on doit faire usage dans le cas que nous examinons ici. Si l'on fait x = t'\ on aura

~ J X " dxc-^J x" dxc'-^ 1= n^ft"-'"-^ dlc-t"ft"'-* dtc-^",

et l'équation (T) du n° 24 donne, en y changeant r dans m -f- 1 , n^fl"-"'-*dtc-'"fi"'-'dtc-^"

on aura donc

Sin — TT

dxc-^ (— ^'■■^'Tr

/dxc

sin — t: fx'dxc

d'où l'on tire, en substituant cette valeur dans l'expression précédente

de A"/,

(-ir^sin-- ^^

[^''] A«5'== ^ fxi dxc--- J ^^^ c-^^[c-^ ~ i)",

les intégrales étant prises depuis x nul jusqu'à x infini.

Le procédé qui vient de nous conduire à cette équation est fondé sur les passages réciproques du réel à l'imaginaire; mais on peut y parvenir directement par l'analyse suivante, qui confirmera ainsi la justesse de ces passages.