DIFFÉRENCES FINIES ET INFINIMENT PETITES III

Intégration de l'équation aux différences finies

S = Aj,+ BAj,+ CA«j, + . . .,

A, B, C, ... étant des fonctions rationnelles et entières de s. Si la variable j^ est exprimée par l'intégrale définie fx^^dx ou par celle-ci fc-^^t^dx^ ç étant fonction de X, on a, par les formules du Chapitre précédent, la valeur de j^ en séries très convergentes, lorsque l'indice s est un grand nombre. Pour déterminer «p, on substitue pour y s son expression en intégrale définie, dans l'équation aux différences enjjs, qui se partage en deux autres, dont l'une est une équation différentielle en cp, qui sert à déterminer cette inconnue; l'autre équation donne les limites de l'intégrale définie. N» 29 m

Intégration d'un nombre quelconque d'équations linéaires à un seul indice et ayant un dernier terme, les coefficients de ces équations étant des fonctions rationnelles et entières do cet indice. Cette méthode peut être étendue aux équations linéaires à différences ou infiniment petites, ou en parties finies et en parties infiniment petites. No 30 117

La principale difficulté de cette analyse consiste à intégrer l'équation différentielle en çp, qui n'est intégrable généralement que dans le cas où l'indice s n'est qu'à la

- première puissance dans l'équation aux différences enj,, qui alors est de la forme o = V -r- .vT, V et T étant des fonctions linéaires de y s et de ses différences, soit finies, soit infiniment petites. Intégrale de cette dernière équation, par une série très convergente, lorsque s est un grand nombre. Remarque importante sur l'étendue de cette série, qui est indépendante des limites de l'intégrale définie par laquelle jr« est exprimé, et qui subsiste dans le cas môme où l'équation aux limites n'a que des racines imaginaires. Lorsque, dans l'équation en j^, s surpasse le premier degré, on peut quelquefois la décomposer en plusieurs équations qui ne renferment que la première puissance de s. On peut encore, dans plusieurs cas, intégrer, par une approximation très convergente, l'équation différentielle en tp. N" 31 121

TABLE DES MATIERES. clxi

Pages

Intégration de l'équation

V, T, R étant des fonctions quelconques linéaires de jj,,- et de ses différences ordinaires et partielles, finies et infiniment petites. N° 32 laS

Chapitre III. — Application des méthodes précédentes a l'approximation de diverses FONCTIONS DE TRÈS GRANDS NOMBRES 1 28

De l'approximation des produits composes d'un grand nombre de facteurs et des termes des polynômes e'ieve's à de grandes puissances 1 28

L'intégrale de l'équation o =(.y-f-i)jj — Ji-i, approchée par les méthodes du Chapitre précédent et comparée à son intégrale finie, donne, par une série très convergente, le produit {[l -\- i) {[x -^ 1) . . . s . En faisant s négatif et passant du positif au négatif et du réel à l'imaginaire, on parvient à cette équation remarquable

\-\h 2-it(— i) rdxc-=^

fxV--^dxc-^ ~J ~ xV- '

la première intégrale étant prise depuis x nul jusqu'à x infini, et la dernière intégrale étant prise entre les limites imaginaires de x qui rendent nulle la fonction

/, cos dx . X sïn — — - — 5 prise depuis r

nul jusqu'à x infini. Cette équation donne encore la valeur des intégrales

/drn cosrs /^wdxsj smvj

prises depuis rs nul jusqu'à ro infini. On trouve — pour ces intégrales; leur accord

avec les résultats du n° 26 prouve la justesse de ces passages du positif au négatif et du réel à l'imaginaire : ces divers résultats ont été donnés dans les Mémoires de

l'Acadc'mie des Sciences pour l'année 1782. N° 33 128

Intégrale approchée de l'équation o =(a'+ b' s)xs->ri — {^ -+- ^•«')j'i, d'où l'on tire, par une série simple et très convergente, le terme moyen ou indépendant de a du binôme ya-\ — ) • N" 34 iSy

Méthode générale pour avoir, par une série convergente, le terme moyen ou indépendant de a, dans le développement du polynôme

«-« H- a-'-ï+i + «-«+2 H- ... -h rt«-» 4- a"

élevé à une très haute puissance. N° 35 1 40

Expressions, en série convergente, du coefficient de a-', dans le développement de cette puissance, et de la somme de ses coefficients, depuis celui de «-' jusqu'à celui

de «'. N" 36 1 49

Intégration par approximation de l'équation aux différences ps=: sys-^{s — i)ys+i- On en déduit l'expression de la somme des termes de la puissance très élevée d'un binôme, en arrêtant son développement à un terme quelconque fort éloigné du premier. N° 37 i5i

ORuvres de L. — VU. 3 1

cLxii TABLE DES MATIERES.

Pages

De L'approximation des différences infiniment petites et finies très élevées des jonctions 1 54

Approximation des différences infiniment petites très élevées des puissances d'un polynôme. Expression très approchée de la différentielle très élevée d'un angle, prise par rapport à son sinus. N° 38 1 54

Expressions en intégrales définies des différences finies et infiniment petites de jv, lorsqu'on est parvenu à lui donner l'une ou l'autre des formes /x'œrfj:, fc-^^fodx N° 39 .' '. . . 1 59

Approximation en séries très convergentes de A« — , n étant un grand norpbre. On en

déduit, au moyen des passages du positif au négatif et du réel à l'imaginaire, l'approximation de A".r'. La convergence de la série exige que i surpasse n et que la

différence i — n ne soit pas fort petite par rapport l\ s -\ — • Expression en série de

A'ï.v', dans ce dernier cas. N" 40 160

Expression de la différence A«,y' lorsque i est plus petit que //. N° 41 i65

Expression de la somme des termes de A«.y', en arrêtant son développement au terme dans lequel la quantité élevée à la puissance t commence à devenir négative. Approximation, en série très convergente, de la fonction

{n + r^/nY'''-n{n-^r^j7i--iY^'-^''-^:^{n-^rs/7i-.!iY^'-...,

dans laquelle on rejette les termes où la quantité élevée à la puissance nzh l est

négative, / étant un nombre entier peu considérable par rapport à «. N° 42 169

Extension des méthodes précédentes aux différences finies très élevées de la forme A''(.y + /))'■(.? -t-/j')'' (.y + //)'•' ... N" 43 174

Remarque générale sur la convergence des séries. N° 44 177