LIVRE II. 2U

Ainsi la probabilité que A gagnera la partie dans le nombre b -\- ii de coups est

rintégrale étant prise depuis t nul jusqu'à / = T, T^ étant égal à 7— -•

Si l'on chercbe le nombre des coups dans lesquels on peut parier un contre un que cela a.ura lieu, on fera cette probabilité égale à ^, ce qui donne

fdt C-t' — — -4- -i-i 1 1 -2 T2 1

jaic — ^ , y^2 ^i 3I j. Nommons T' la valeur de ^, qui correspond h

et supposons

g étant de l'ordre — • L'intégrale / dtc~'^ sera augmentée à très peu près de qc~^\ ce qui donne

on aura donc

T2=T'2+~fi — IT'2'

Ayant ainsi T^ aux quantités près de l'ordre ^j l'équation

donnera, aux quantités près de l'ordre — ?

Pour déterminer la valeur de T'^, nous observerons qu'ici T' est plus

OF.wres de L. — VU. 31

petit que ^; ainsi l'équation transcendante et intégrale

peut être transformée dans la suivante :

s/tt

En résolvant cette équation, on trouve

En supposant b= 100, on aura

Il y a donc alors du désavantage à parier un contre un que A gagnera la partie dans 23780 coups, mais il y a de l'avantage à parier qu'il la gagnera dans 23781 coups.

H. Un nombre /? -h i de joueurs jouent ensemble aux conditions suivantes. Deux d'entre eux jouent d'abord, et celui qui perd se retire après avoir mis un franc au jeu, pour n'y rentrer qu'après que tous les autres joueurs ont joué ; ce qui a lieu généralement pour tous les joueurs qui perdent, et qui par là deviennent les derniers. Celui des deux premiers joueurs qui a gagné joue avec le troisième, et, s'il le gagne, il continue déjouer avec le quatrième, et ainsi de suite jusqu'à ce qu'il perde, ou jusqu'à ce qu'il ait gagné successivement tous les joueurs. Dans ce dernier cas, la partie est finie. Mais, si le joueur gagnant au premier coup est vaincu par l'un des autres joueurs, le vainqueur joue avec le joueur suivant, et continue déjouer jusqu'à ce qu'il soit vaincu, ou jusqu'à ce qu'il ait gagné de suite tous les joueurs; le jeu continue ainsi jusqu'à ce qu'il y ait un joueur qui gagne de suite tous les autres, ce qui finit la partie, et alors le joueur qui la gagne emporte tout ce qui a été mis au jeu.

Cela posé, déterminons d'abord la probabilité que le jeu finira précisé-