III I

-- 2.C-I -\~ -^ Zx-2 H ^Zx-3 + . . . H -7—, Zx-n+\'

La fonction génératrice de Zj. est, par le Livre P%

Pour déterminer ^j^(^), nous observerons que la partie ne peut finir au plus tôt qu'au coup n, et que la probabilité pour cela est -y-]'-) car il faut que le vainqueui* au premier coup gagne les n — i coups suivants ; ^t) ne doit donc renfermer que la puissance n de t, et — '— doit être

le coefficient de cette puissance, ce qui donne '\>{t) = — ^7; ainsi la fonction génératrice de z^ est

La somme des coefficients des puissances de t jusqu'à l'infini, dans le développement de cette fonction, est la probabilité que la partie doit finir après une infinité de coups; or on a cette somme en faisant t = i dans la fonction, ce qui la réduit à l'unité; il est donc certain que la partie doit finir.

On aura la probabilité que la partie sera finie au coup x ou avant ce coup, en déterminant le coefficient de t^ dans le développement de la fonction précédente, divisée par i — ?; la fonction génératrice de cette probabilité est donc

ln^"['^~t]

l][,-t+^^tn\