LIVRE IL

donnera pour la fonction génératrice de j^, en changeant dans celle de y^, k dans r» q dans i — q.

Cette quantité est donc égale à u, d'où l'on tire, en y substituant pour u sa valeur précédente,

En changeant ^ en i — ^, on aura la fonction lî génératrice de y'^. Si l'on divise ces fonctions par i — /, on aura les fonctions génératrices des probabilités respectives de A et de B, pour gagner la partie avant ou au coup X.

Si l'on suppose t = i dans m, on aura la probabilité que A gagnera la partie ; car il est clair qu'en développant ii suivant les puissances de t, et en supposant ensuite^ = i, la somme de tous les termes de ce développement sera celle de toutes les valeurs de j^. On trouve ainsi la probabilité de A pour gagner la partie égale à

b-[^-qy]q'-' .

ï — qy-* + q'-* — q'-* (i — qY'* '

la probabilité de B est donc

Supposons maintenant que les joueurs, à chaque coup qu'ils perdent, déposent un franc au jeu, et déterminons leur sort respectif. Il est clair que le gain du joueur A sera x, s'il gagne la partie au coup ce, puisqu'il y aura x francs déposés au jeu; ainsi la probabilité de cet événement étant j^ par ce qui précède, ^xy^ sera l'expression de l'avantage de A, le signe S s'étendant à toutes les valeurs possibles de x. La fonction

génératrice dey^ étant u ou ttt' T' étant le numérateur de l'expression

précédente de u, et T étant son dénominateur, il est facile de voir que

l'on aura S^rj^. en différentiant -„ » et en supposant ensuite / = i dans

cette différentielle, ce qui donne, avec cette condition,

dï' T dT

Pour avoir le désavantage de A, on observera qu'à chaque coup qu'il joue, la probabilité qu'il perdra, et par conséquent qu'il déposera un franc au jeu, est i — q; sâ perte est donc le produit de i — ^ par la probabilité que le coup sera joué ; or la probabilité que le coup x sera joué est I — ^yx-\ — ^y'x-i î '^ fonction génératrice de l'unité est ici

-— — ) et celle de S j^;-, -+- ^Jx-t ^^^ 'vi ,] '■> T" étant ce que devient T'

lorsqu'on y change ^ en r — q et réciproquement; ainsi la fonction génératrice du désavantage de A est

Le numérateur et le dénominateur de cette fonction sont divisibles par 1 — ^ ; de plus, on aura la somme de tous les désavantages de A, ou son désavantage total, en faisant t= i dans cette fonction génératrice; le désavantage total est donc, par les méthodes connues, et en observant que T' -i- T" = T lorsque t = i,

{i-q){dT — dT'-dT'') »

Tdt

t étant supposé égal à l'unité après les différentiations. Si l'on retranche cette expression de celle de l'avantage total de A, on aura, pour l'expression du sort de ce joueur,

qdT+[i-q){dT-dV') T dl Tdt T^dt'

Le sort de B sera

{i-q)dV'-ï-q{dT-dT) T" dT Tdt T^V