LIVRE II

En égalant entre eux les termes affectés du signe /, on aura l'équation aux différentielles partielles

dr ^ dt

Le terme hors du signe /, égalé à zéro, donnera, pour l'équation aux

o = f cp c-V-i^.

limites de l'intégrale.

L'intégrale de l'équation précédente aux différentielles partielles de 9 est

"^["ïP) étant une fonction arbitraire de -^p\ on a donc

Soit

t = iy.-^issj-i.^.,\ î^4-îq«

l'expression de U prendra cette forme

(A) \] = c-v-'Jdsc-''Y

Il est facile de voir que l'équation précédente, aux limites de l'intégrale, exige que les limites de l'intégrale relative à s soient prises depuis 5 = — 00 jusqu'à 5 = 00 . En prenant le radical \l — i avec le signe —, on aurait pour U une expression de cette forme

K = e-^'fdsc-'iv(i:^'^^y.

la fonction arbitraire n(^) pouvant être différente de T{s). La somme de ces deux expressions de U sera sa valeur complète. Mais il est facile de s'assurer que, les intégrales étant prises depuis ^ = — go jusqu'à j = Qo , l'addition de cette nouvelle expression de U n'ajoute rien à la généralité de la première, dans laquelle elle est comprise.

29fe THÉORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS.

Développons maintenant le second membre de l'équation (A), suivant les puissances de -^> et considérons un des termes de ce développement, tel que

ce terme devient, après les intégrations,

,3.5...(2/ — i) ,-H(Or..-(x'

2' ^ " C^ir'

slv:-

Considérons encore un terme de ce développement, relatif aux puissances impaires de -^^, » tel que

Ce terme devient, après les intégrations,

i.3.5...(2/ + i)L<'>v/7^pc-|^'r i[^l , f(i— i)(2|a)< Y

^ic(.'>i^i)r' L' "1.2.3 ^ 1.2.3.4.5 "J'

On aura donc ainsi l'expression générale de la probabilité U, développée dans une série ordonnée suivant les puissances de -^,> série qui devient très convergente lorsque r' est un nombre considérable. Cette expression doit être telle que fUdx ou ^fUd^s^fn soit égale à l'unité, les intégrales étant étendues à toutes les valeurs de ce et de p., c'està-dire depuis ^nul jusqu'à ^ = n, et depuis (a — — \/« jusqu'à ij. = \/n; car il est certain que, l'une des valeurs de ^ devant avoir lieu, la somme des probabilités de toutes ces valeurs doit être égale à l'unité. En prenant l'intégrale /c~!^Vp. dans les limites de ja, on a le même résultat, à très peu près, qu'en la prenant depuis (x= — 00 jusqu'à

u. = (x>; la différence n'est que de l'ordre — r^> et vu l'extrême rapidité

avec laquelle c~" diminue à mesure que n augmente, on voit que cette

différence est insensible lorsque n est un grand nombre. Cela posé, considérons dans l'intégrale ^/U d^sjn le terme