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\lm:[\ H- c-*'^)

Cherchons maintenant la valeur moyenne du nombre des boules blanches contenues dans l'urne A, après r tirages. Cette valeur est la somme des produits des divers nombres des boules blanches, multipliées par leurs probabilités respectives; elle est donc égale à l'intégrale

-\- u. \1 n .^ du. \fn

prise depuis p, = — 00 jusqu'à [x = oo . En substituant pour U sa valeur

Œuvres de L.— VII. 39

donnée par la formule (k), on aura, en vertu des théorèmes précédents, pour cette intégrale,

A l'origine où a- est nul, cette valeur est^n-h — L^"^ ; ainsi l'on aura L^"'

au moyen du nombre des boules blanches que l'urne A contient à cette origine.

On peut obtenir fort simplement, de la manière suivante, la valeur moyenne du nombre des boules blanches, après r tirages. Imaginons que chaque boule blanche ait une valeur que nous représenterons par l'unité, les boules noires étant supposées n'avoir aucune valeur. Il est clair que le prix de l'urne A sera la somme des produits de tous les nombres possibles de boules blanches qui peuvent exister dans l'urne, multipliés par leurs probabilités respectives; ce prix est donc ce que nous avons nommé valeur moyenne du nombre des boules blanches. Nommons-le z, après le tirage r'^™«. Au tirage suivant, s'il sort une boule blanche, ce prix diminue d'une unité ; or, si l'on suppose que x est le nombre des boules blanches contenues dans l'urne après le tirage

H""^, la probabilité d'en extraire une boule blanche sera '-; en nom-

/\]x dx

étendue depuis x=^o jusqu'à x = n, sera la diminution de z, résultante de la probabilité d'extraire une boule blanche de l'urne. Si l'on

fait, comme ci-dessus, - = r, et si l'on désigne la fraction très petite - par dr\ cette diminution sera égale à zdr; car z est égal à fUxdx,

somme des produits des nombres des boules blanches par leurs probabilités respectives. Le prix de l'urne A s'accroît, si l'on extrait une boule blanche de l'urne B, pour la mettre dans l'urne A; or, x étant supposé le nombre des boules blanches de l'urne A, n — x sera celui des boules blanches de l'urne B, et la probabilité d'extraire une boule

blanche de cette dernière urne sera ; en multipliant cette proba-