LIVRE II

mètes sera comprise dans des limites données, en supposant toutes les inclinaisons également possibles, depuis zéro jusqu'à l'angle droit, est évidemment la même que la probabilité précédente; l'intervalle 2a des limites des erreurs de chaque observation est, dans ce cas, l'intervalle- des limites des inclinaisons possibles t alors la probabilité que

la somme des inclinaisons doit être comprise dans les limites ±-' ^'

est 2 i / — Jdrc ^ , ce qui s'accorde avec ce que l'on a trouvé dans le

Supposons généralement que la probabilité de chaque erreur positive ou négative soit exprimée par ^i-yxQin étant des nombres infinis. Alors, dans la fonction

I H- 2 cosm -+■ 2 C0S2CJ -H 2 cosScî 4-. . . -I- 2 cosnnj, chaque terme, tel que 2 cos^rny, doit être multiplié par cp ( - j; or on a

20 ( — I cosarcT = 29 ( - j r, 9 ( - ) w^GT-H-. . . .

En faisant donc

— î ax = -> n n

la fonction

9 I - j -t- 29 (- j COSCT -h 29! - j C0S2GÎ + . . .-f- 2 9f - j cosncT

devient

les intégrales devant être étendues depuis a? == o jusqu'à x' = 1. Soit alors

k=:z9.fdx'<f{x'), k"=fx'^dx'^[x'),

La série précédente devient

(k" I— -Tr/i2nj2-i-.

Maintenant la probabilité que la somme des erreurs des s observations sera comprise dans les limites i/est, comme il est facile de s'en assurer par les raisonnements précédents,

9 ( - ) -f- 2 (p ( - ) COS CJ H- 2 9 ( - ) CCS 2 Cî + . .

ffdrndlcoslm

I ' + 2Cp f - I CGS/IM

l'intégrale étant prise depuis vs nul jusqu'à vs = t:; cette probabilité est donc

(nkV l k" \*

Supposons

en prenant les logarithmes hyperboliques, on aura, à très peu près, lorsque s est un grand nombre,

ce qui donne

Si l'on observe ensuite que, nk ou 2fd(r(pl-\ exprimant la probabilité

que l'erreur d'une observation est comprise dans les limites ± n, cette quantité doit être égale à l'unité, la fonction (u) deviendra

l'intégrale relative k t devant être prise depuis t nul jusqu'à t=Tzni/ -r-y ou jusqu'à t = cc , n étant supposé infini. Or on a, par le n** 25 du Livre P',

fdtcos(^-i^^

la fonction (w) devient