LIVRE

Vît

Ainsi, en nommant, comme ci-dessus, ia l'intervalle compris entre les limites des erreurs de chaque observation, la probabilité que la somme des erreurs des s observations sera comprise dans les limites ±:ar^ s e^i

Si (p ( - ) est constant, alors p = 6, et cette probabilité devient

rc ^ ,

ce qui est conforme à ce que l'on a trouvé ci-dessus.

Si 9 ( — J ou <p(i3?') est une fonction rationnelle et entière de x\ on

aura, par la méthode du n° 15, la probabilité que la somme des erreurs sera comprise dans les limites ± arsjs, exprimée par une suite de puissances 5, 2*, ... de quantités de la former — (Jt. ± r\js, dans lesquelles [xaugmenteen progression arithmétique, ces quantités étant continuées jusqu'à ce qu'elles deviennent négatives. En comparant cette suite à l'expression précédente de la même probabilité, on obtiendra d'une manière fort approchée la valeur de la suite, et l'on parviendra ainsi sur ce genre de suites à des théorèmes analogues à ceux que nous avons donnés dans le n° 42 du Livre I"', sur les différences finies des puissances d'une variable.

Si la loi de facilité des erreurs est exprimée par une exponentielle négative qui puisse s'étendre jusqu'à l'infini, et généralement si les erreurs peuvent s'étendre à l'infini, alors a devient infini, et l'applica-

OEufres de L. — VU. 40

tion de la méthode précédente peut offrir quelques difficultés. Dans tous ces cas, on fera

h étant une quantité quelconque finie, et en suivant exactement l'analyse précédente, on trouvera, pour la probabilité que la somme des erreurs des s observations est comprise dans les limites ± hrsfs.

expression dans laquelle on doit observer que ? ( r) ou 9(^') exprime la probabilité de l'erreur. =!= ^, et que l'on a

les intégrales étant prises depuis x' =o jusqu'à ^' = 20 . .

19. Déterminons présentement la probabilité que la somme des erreurs d'un très grand nombre d'observations sera comprise dans des limites données, abstraction faite du signe de ces erreurs, c'est-à-dire, en les prenant toutes positivement. Pour cela, considérons la suite

^ / 'L lL.(«-l)CTv/-l 4. (p / ^ j (^«CTv/-l,

9 ( - j étant l'ordonnée de la courbe de probabilité des erreurs, correspondante à l'erreur ±jr, ei x étant, ainsi que n, considéré comme formé d'un nombre infini d'unités. Si l'on élève cette suite à la puissance s, après avoir changé le signe des exponentielles négatives, le coefficient d'une exponentielle quelconque, telle que c^'+f)»^ s/- ' , sera la probabilité que la somme des erreurs, prises abstraction faite du