LIVRE PREMIER

- est égal au coefficient de 0' dans le développement de la fraction — H- Si l'on multiplie le numérateur et le dénominateur de cette frac-

tion par

{a — z)6"-hb6"-* -l-c0«-2 + . . .-h pe -hq,

et si dans le numérateur on substitue au lieu de z sa valeur

b c « 4- - -f- - -h ... , on aura

(fi \ '

en divisant le numérateur et le dénominateur de cette fraction par

I — -î elle devient

ae"-^bd"-* -hcB"—^-h. ..-{-pe -i-q — zd"

La recherche du coefficient de 6' dans le développement de cette fraction se réduit à déterminer, quel que soit r, le coefficient de ^ dans le développement de la fraction

rtô''+60«-' + ce«-2H-. . .-hpd -hq — zQ"

Pour cela, considérons généralement la fraction 7^ » P et Q étant des

fonctions rationnelles et entières de 0, la première étant d'un ordre inférieur à la seconde. Supposons que Q ait un facteur 0 — a élevé à la

puissance s, en sorte que l'on ait

R étant une fonction rationnelle et entière de 6. On pourra décomposer

la fraction 77 en deux autres ,7; r- -l- îtj A et B étant des fonctions

rationnelles et entières de 0, la première de l'ordre ^ — i , et la seconde d'un ordre inférieur à celui de R; car il est visible qu'en substituant pour A et B des fonctions de cette nature, avec des coefficients indéterminés, en réduisant ensuite les deux fractions au même dénominateur, qui devient alors égal à Q, en égalant enfin la somme de leurs numérateurs à P, la comparaison des puissances semblables de 0 donnera autant d'équations qu'il y a de coefficients indéterminés. Gela posé, l'équation

donne

Si l'on considère A, B, P et R comme des fonctions rationnelles et entières de 8 — a, A sera une fonction de l'ordre ^ — i , et par conséquent

il sera égal au développement de ^ dans une suite ordonnée par rapport aux puissances de 6 — a, pourvu que l'on s'arrête à la puissance s — I inclusivement. Soit donc

^=Uo-hUi{9 — x) + U2{9 — ix)^-h...;

on aura

A Mo Ui «2

fô -"ITp ~ [9-ocy ^ (T-a)*-' "^ [d — ocy-^ "^ " * "

en rejetant les puissances positives de 0 — a; jj-^ — r-^ est, par conséquent, égal au coefficient de t^~* dans le développement de la fonction

Uo -h u^t -h Hit -h . . .

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