Aïs — i

2.4.6. . .2* En nommant donc T ce terme moyen, la formuFe (B) donnera

STZUs

Ce théorème et l'expression précédente de w^en série sont dus à Stirling, et l'on voit comme ils se rattachent au théorème et à l'analyse de Wallis. Cette valeur de T^ peut servir à déterminer par approximation le rapport de la circonférence au diamètre, ce qui était l'objet de Wallis; ou, ce rapport étant supposé connu, elle donne le terme moyen du binôme, ce qui était l'objet de Stirling.

L'expression de A" s', donnée par la formule (p.') du n° 40 du Livre P%

a été conclue de l'expression de A" -i en changeant dans celle-ci i en

— i. Ce passage du positif au négatif est analogue aux inductions que Wallis et d'autres géomètres ont si heureusement employées. Tous ces moyens d'invention, qui tiennent à la généralité de l'Analyse, exigent dans leur usage une grande circonspection, et il est toujours bon d'en démontrer directement les résultats. C'est ce que nous allons faire relativement à la formule ([;/).

Considérons l'intégrale

prise depuis nr = — oo jusqu'à cr = qo . Cette intégrale est égale à — \f—~i cr^^'J-^ as rdxsc-^^^^^

rdi

J il

Cette constante est

const.

ts étant supposé infini. En la réunissant au terme

dans lequel on doit pareillement supposer zs infini, on aura

/-— i cos(«5cj)[() — vs\J—\Y — (i + ny V'— 0*3

/ ( -+- y/— I sin(a5GT) [(i — cTv/-^i)' + (1 + Gjv/— 0']

\jQ numérateur de cette fraction est réel, ainsi que son dénomina-

teur, et il est visible qu'elle devient nulle, en y faisant nr infini ; on a

donc

/dxs c-^"^ V=T as r dxs 6'-«^^ V^

De là il est facile de conclure qu'en faisant i^=r , r étant un

nombre entier positif, on aura

Soit asvs = cj', et faisons as = q; nous aurons

les intégrales étant prises depuis ct et xs' égaux à — co jusqu'à w et ct' égaux à -+■ 00 . Désignons par k l'intégrale

Jgj' c-^'v/^

on aura

dh l m\ r </cj'o-^'v'-i

dq '