consl

On verra, comme ci-dessus, que ce dernier membre se réduit au terme affecté du signe intégral, terme qui est égal à — ^; on a donc

dk

dq

ce qui donne, en intégrant,

k = Ac-1,

A étant une constante arbitraire indépendante de q. Il est visible que

OEuvrcs de L. — VU. 61

kSi THÉORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS.

cette équation suppose q positif; car, en faisant q infini positif ou négatif, k est infiniment petit. On a donc

J il

rs \/-

Cette équation a lieu, quelle que soit la valeur de a, pourvu que as soit positif. En faisant s = i et changeant a dans une autre constante «', on aura

on aura donc

ce qui donne

gi — i ' 1 ,

(i-HTv/-.r'

Pour avoir en séries les intégrales, nous supposerons nous aurons, en prenant les logarithmes,

— asis y/— ^ 4- rt log 1+ -~^ (c-^^V-"^ I ) L (/ + 1 ) iog(i 5j v'— I ) = ^ '^-

Déterminons a de manière que, dans le développement du premier membre de cette équation, la première puissance de cj disparaisse, et supposons ce développement égal à

nous aurons d'abord

ensuite

..„ i -h i n c« 'jn I c'^ \^ « / c« \ 3 « / c'' \ *

On a ensuite, par le retour des séries,

on a donc, en prenant les intégrales depuis cy et ^ égaux à — 00 jusqu'à ^ et cy égaux à -f- 00 ,

~ « J ff \ fs/f ' ^P ■'•■

Si l'on suppose 5 = i, n = o et si l'on change a en a', on aura

on aura donc

De là il est aisé de conclure

ras—il />a j\n

aj ^ ^^ 'i / i5/'2-i2//" I

Qf^ 1 2 i

formule qui coïncide avec la formule [\i.') du n° 40 du Livre P''.

Cette formule suppose a positif, et c'est ce qui a lieu lorsque i -+- 1 surpasse n. En effet, si, dans l'équation

/ -I- 1 ne*

on suppose a infiniment petit, le second membre est positif et égal à

——S ensuite, a étant positif et infini, ce second membre devient

négatif et égal à —s — n; il y a donc une valeur positive de a qui satisfait à cette équation. Mais il n'y en a qu'une; car, s'il y en avait

deux, la fonction -^ s aurait un maximum entre ces deux

i -\- \ ne

valeurs; on aurait donc à ce maximum

ce qui ne se peut, a étant positif. En effet, {(f — i)^ est plus grand que

à^(f ou c'* — I > ac% ce qui est visible; car on a