fdt.c-t
l'intégrale étant prise depuis t nul jusqu'à
La différence en latitude des points extrêmes de la perpendiculaire
dépend, par le Chapitre cité de la Mécanique céleste, de l'excentricité des parallèles terrestres, qui introduit dans son expression la quantité
la partie de cette expression qui est indépendante de cette excentricité est proportionnelle à ç'*; ainsi la petite erreur dont <p est susceptible n'a point d'influence sensible sur la différence en latitude. En observant donc avec un grand soin cette différence, l'excentricité des parallèles terrestres doit se manifester, pour peu qu'elle soit sensible.
Si la ligne géodésique a été tracée dans le sens du méridien, l'azimut, à l'extrémité de l'arc mesuré, fera connaître l'excentricité des parallèles terrestres, et il est remarquable que cet azimut soit la fonction [u), en y changeant <p dans la différence en latitude des points extrêmes de l'arc mesuré et en la multipliant par le sinus de la latitude divisé par le carré du cosinus de la latitude à l'origine de l'arc.
L'arc mesuré dans le sens du méridien fera connaître le rayon osculateur de la Terre dans ce sens, et, par les formules précédentes, on aura la probabilité des erreurs dont sa valeur est susceptible.
On obtiendra plus de précision dans tous les résultats en fixant vers le milieu de l'arc mesuré l'origine des angles; car alors les puissances supérieures de ces angles, que l'on néglige, deviennent beaucoup plus petites.
3. Supposons que, pour vérifier les opérations, on mesure, vers l'extrémité A^"^ de l'arc AA'A"..., une seconde base. L'expression de l'erreur de cette base, conclue de la chaîne des triangles et de la base mesurée au point A, sera, par ce qui précède, de la forme
soitX cette erreur qui sera connue par la mesure directe de la seconde base. Si dans la fonction (p) on fait, comme précédemment,
OEuvres de L. — VU. 69
elle prend cette forme
En désignant par s la valeur de la fonction (o) ou de son équivalente (o') et observant que les probabilités de a et de a suivent la
même loi et sont proportionnelles a c ^ ~ et c ^ , la probabilité de la fonction précédente sera proportionnelle à
En supposant la fonction égale à X, cette exponentielle devient
F exprimant la somme des carrés /^ -h /^'^^ -h f^-^^ -h Les valeurs
de a, a, a('\ ... les plus probables sont évidemment celles qui rendent un minimum l'exposant de cette exponentielle, ce qui donne
f==V' ^= F ' î^'=^-' Si l'on observe ensuite que l'on a, par ce qui précède,
/ = imv^, /(.) = />,
6 = ^a y/s — ja,
on aura
et F deviendra
Si Ton substitue ces valeurs dans la fonction (o), on aura la correction résultante de la mesure d'une seconde base, en l'affectant d'un signe
contraire. Mais on peut directement arriver à ce résultat, par le n*» 21 du Livre II, d'après lequel on voit que, s étant la valeur de la fonction (o), sa probabilité est proportionnelle à
a V Sf.')'- )
le signe S s'étendant à toutes les valeurs de i, depuis i = o inclusivement. La valeur de s la plus probable est celle qui rend nul l'exposant de c, ce qui donne
Sr^^Y('\
il faut donc retrancher de l'arc mesuré AA''^ . . A^"^ cette valeur de s ; et, si l'on nomme u l'erreur de l'arc ainsi corrigé, la probabilité de u sera proportionnelle à
On voit par cette expression que le poids du résultat est augmenté en vertu de la mesure de la seconde base; car, avant cette mesure, le coefficient de —s^ était, par le numéro précédent,
Sr(''2' et, par cette mesure, le coefficient de —u^ devient
La même erreur devient donc moins probable par cette mesure et par la correction précédente de cet arc.
On peut observer ici que les valeurs précédentes de r, i^*\ / et /^'j donnent
On pourra donc former aisément Sr''^' et Sr<y<'^ au moyen des coefficients de a, ê, oS^\ . . . dans les fonctions (o) et (/>).
Si l'on avait mesuré d'autres bases, on aurait, par l'analyse du n** 21 du Livre II, les corrections qu'il faudrait faire à l'arc mesuré, et la loi de ses erreurs.
La mesure d'une nouvelle base peut servir à corriger, non seulement l'arc mesuré, mais encore la différence en longitude de ses points extrêmes ou l'angle A^"^ Il suffira de substituer à la fonction (o) celle-ci
qui exprime l'erreur de A^"^ le signe supérieur ayant lieu si n est impair, et l'inférieur si n est pair. Alors on a
p—zti, q = o, />(<) = q=i, ^(" = 0, ...;
de là il est facile de conclure que, pour corriger l'angle A^"', il faut lui ajouter la quantité
::pX(/-/(«)-4-/(2)...^;n4-^m(')-...).
La probabilité que l'erreur de A'"^ ainsi corrigé est dans les limites ± u sera
l'intégrale étant prise depuis t nul jusqu'à
im(') —
4. Nous sommes parvenus aux résultats précédents en partant de la loi de probabilité de l'erreur a proportionnelle à c~^"', et nous avons prouvé que cette loi de probabilité peut être admise à l'égard des angles mesurés avec le cercle répétiteur. Nous allons faire voir ici que ces résultats ont lieu généralement, quelle que soit la loi de probabilité de l'erreur a. Soit 9 (a) cette loi. Nous la supposerons telle que les
mêmes erreurs positives et négatives soient également probables. Nous supposerons, de plus, que <p(a) s'étend depuis a = — ao jusqu'à a = -h X) : cette supposition est toujours permise ; car, si la probabilité devient nulle au delà de certaines limites, la fonction <p(a) est alors discontinue et nulle au delà de ces limites. Cherchons maintenant la probabilité des valeurs de la fonction (o) du n° 1. Cette fonction a été calculée en corrigeant les angles de chaque triangle du tiers de la somme observée de leurs erreurs. Supposons généralement que, dans le premier triangle, on corrige l'erreur a de {i -f- ^)T, l'erreur 6 de («, + i)T, et par conséquent la troisième erreur de (| — « — î,)T, en désignant par a et ê leserreurs a et ê ainsi corrigées, on aura
a=ra+(/ + i)T, ê = ê-f-(/, + i)T.
En désignant pareillement par a^'^ et ê^" les erreurs a^'^ et ê^'^ respectivement corrigées de {P^ ■+■ ^)T*\ («V -+- i)T^*^ on aura
et ainsi de suite. La fonction (o) est, par le n° 1, égale à
ensuite, on a
a = â + iT = a -f- (i H-IJT;
on a pareillement
ê = g-!-/,T, c^') = a('J^-i^»>T, La fonction (o) devient ainsi
S {pi H- qi,)! désignant la somme
{pi -h qi^)T -h (p^'U^*^ + q(*U\'^)T(*^ + . . . . La correction de la fonction (o) relative aux valeurs de i, «,, t^'\ . . . est
donc
et alors cette fonction ainsi corrigée devient
Pour avoir la probabilité des valeurs de cette dernière fonction, nous observerons que la probabilité de l'existence simultanée des valeurs
de a, ê et T est
c?arfêflrTcp(a)(p(ë)(p(T — « — 6) ///</arfêfl?T(p(a) cp(ê)<p(T-a -6)'
les intégrales du dénominateur étant prises dans leurs limites infinies positives et négatives. Désignons par k l'intégrale JdoLC^[oL), prise dans ces limites; il est facile de voir que ce dénominateur sera égal à Jâ. La fraction précédente devient ainsi
—jr^ 9(a)9(6)9{T-a-6);
la probabilité de l'existence simultanée des valeurs de a, ê et T sera donc
doc de dT
T étant supposé pouvoir varier depuis — oo jusqu'à 4-qo, on aura la probabilité des valeurs simultanées de a et de ê en intégrant la fonction précédente par rapport à T, dans les limites infinies. Nommons
dxd^
~k^ y (a, b) cette intégrale. On voit, par le n" 20 du Livre II, qu'en
désignant par s la valeur de la fonction (s), la probabilité de s sera proportionnelle à
[ //c?arfg^j;(a, g) cos(;ja + gê)M J
l'intégrale relative à w étant prise depuis oj = — u jusqu'à cd = ir et
les intégrales relatives à a et S étant prises dans leurs limites infinies. Développons dans une série, ordonnée par rapport aux puissances de (0, la fonction comprise dans la parenthèse. Le logarithme de ffdccdS^foLy ê) cos(/>a -h ^ê)a) est égal à
\ogffdjcds t(2, !) - ffoads^^.ej — -- - • • ■ •
Or on a
ffd^dB^{a,e)
Les intégrales étant prises dans leurs limites infinies, il est aisé de voir, par la théorie connue des intégrales multiples, que le second membre de cette équation est égal à
///rfa</êrfT>(«)9(ê)(p(T'),
T' étant égal à T — a — ê; il est donc égal à k^. On a ensuite
^"^ ( =fffdocdedT'cp{a) cp(ê) (p(T') {pa -h që)\
en substituant pour a et ê leurs valeurs en a, S, et T' dans la quantité ÇpoL -f- q^y. Or il suit de ce qui précède que l'on a
a^rï-i)oc-{i +1)6 -(ï +i)T', !=(§-0ê-(^'. +i)a-(i. + ^)T'.
En substituant ces valeurs dans la quantité (/?a + g^Yt on pourra, dans son développement, négliger les termes dépendants des produits aÇ, aT' et êT', car la triple intégrale
étant prise dans ses limites infinies, et la fonction (p(a) étant supposée
la même pour les valeurs -t- a et — a, il est clair que les éléments de cette intégrale dépendants de -+- ol€ seront détruits par les éléments négatifs dépendants de — aê. Si l'on observe ensuite qu'en désignant j'a^ dcc(^{y.) par k'\ on a
///a^ <fa rfê 6/T' <p ( a ) 9 ( ê ) 9 ( T' ) = A-2 A-",
la fonction {u) deviendra
le logarithme de
fj dtxd&^i^a, 6) cos(pa + ^ê)w
devient ainsi
logÂr3- ^^^^^-[■i[p^-pq + q^)^Z[pi-^qi,Y]-....
En repassant des logarithmes aux nombres et négligeant, conformément à l'analyse du n" 20 du Livre II, les puissances de w supérieures au carré, l'intégrale (H) prendra cette forme
A-3«/c?coc ^* ,
S()o^ — pq -h q^) représentant la somme des quantités pi -. pq ^ qi ^ p[i)i — p{i) qU) ^ ,.
S{pi -h qifY représentant la somme des quantités
[pi-^qiY-\- (/)(')«■(" + g(')i('))2 + ...,
et n étant le nombre des triangles. Donnons à l'intégrale précédente cette forme
A-s«^ d(àc \ 2U / 4Q, Q étant égal à
^ [f S(/>=^ -pq + q') + 3?>{pi+qi^n
L'intégrale doit être prise depuis cd = — t: jusqu'à co = ir, et l'on a vu, dans le numéro cité du Livre II, qu'elle peut être étendue depuis
û) = — 00 jusqu'à Cl) = 00 ; alors l'intégrale précédente, ou la probabi-
il lité de s, devient proportionnelle à c *" ou à
ik-[S{p*-pq-t-q-) + \S(pi-+- ^,-,)»]
Il faut maintenant déterminer la valeur de p,- Pour cela nous ferons,
comme ci-dessus, usage des valeurs observées de T, T^*^ T^^^
Lorsque ces valeurs sont en grand nombre, la somme de leurs carrés divisée par leur nombre sera, à fort peu près, par ce que nous avons établi dans le Livre II, la valeur moyenne de T^; en faisant donc
— sera cette valeur moyenne. Or on a cette valeur en multipliant
chaque valeur possible de T'^ par sa probabilité et en prenant la somme de tous ces produits; l'expression de la valeur moyenne de T^ sera
donc
///</«</g<fT.T2<p(g)(p(g)y(T-a — 6) ///t/ae/6rfï<p(a)<p(ê)9(T-a-6) '
les intégrales étant prises dans leurs limites infinies. Soit, comme cidessus,
la fraction précédente deviendra
///t/arfêt/ï>(«)(p(ê)<p(T')
toutes ces intégrales étant prises encore dans leurs limites infinies. Il est facile de voir, par l'analyse précédente, que le numérateur de cette fraction est égal à 3Pk", et que son dénominateur est égal à ^^; la
fraction devient ainsi —i—: en l'égalant à — ? on aura
^ — il.
OEwres de L. — Vll. 70
la probabilité de s est donc proportionnelle à
^ *e« [s(p'-p.7+ 9») +|s (pi -!-7«,)»]^
Il est clair que les valeurs de i et de î, qui rendent cette probabilité le plus rapidement décroissante sont celles qui donnent pi -+- qi^ = o ; et alors la correction précédente de l'arc mesuré devient nulle. Le cas de i et «, nuls donne donc la loi de probabilité des erreurs géodésiques, le plus rapidement décroissante, loi qui doit être évidemment adoptée.
De là, il est facile de conclure que la probabilité que la valeur de s sera comprise dans les limites ± s est égale à
l'intégrale étant prise depuis t nul jusqu'à
ce qui est conforme à ce que nous avons déduit dans le n° 1 de la loi particulière de probabilité des erreurs a proportionnelle à c~^*\
Exprimons, comme dans le n° % l'erreur d'une nouvelle base conclue de la première par la fonction
En faisant, comme précédemment,
a=â-iT, ê = l-/,T, a(«) = â(')~i(')T('), .!.,
la correction de cette fonction, relative aux valeurs de t, «,, P\ ... sera — S(/i H- m/,)T, et l'erreur de la nouvelle base ainsi corrigée sera
Soit s' la valeur de cette fonction; la probabilité de l'existence simul-
tanée des valeurs s et s' des fonctions (e) et (X) sera, par le n** 21 du Livre II, proportionnelle à
les intégrales étant prises depuis (o et w' égaux à — oo jusqu'à (o et ta' égaux à -h 00. On voit ensuite, par l'analyse du numéro cité, que l'on a
Qw2 + 2Q< WC0'+ Q2C0'2
///t/ac^êt/T'(p(«)9(ê)cp(T')
les intégrales relatives à a, ê et T' étant prises dans leurs limites infinies; ce qui donne, en substituant pour a et 6 leurs valeurs précédentes.
^[{p-l)^-^{^-^)"']-^l^ip^+^^^)ifi + ^^^)[
d'où l'on conclut, par l'analyse du numéro cité, que la probabilité de l'existence simultanée des valeurs de s et de s' est proportionnelle à
C *(QQr-QT)
c *(Q«î-Qr) *o»,
La mesure de la seconde base détermine la valeur de s'; et, en la nommant X comme ci-dessus, la probabilité de s sera proportionnelle à
La valeur de s la plus probable est celle qui rend nul l'exposant de c;
ce qui donne
en faisant donc
u sera l'erreur de l'arc mesuré et diminué de -~^\ et la probabilité de cette erreur sera proportionnelle à
Qi«'
C i(QQ.-QÎ).
Les valeurs de i, «, , ^^*^ ... doivent être déterminées par la condition
que le coefficient de m% dans cette exponentielle, soit un maximum ;
voyons donc quelles sont les valeurs de ces quantités qui rendent la
fraction
QQ2 - Qi
un maximum. Si l'on nomme Q' ce que devient l'expression de Q lorsqu'on y diminue l'intégrale finie S {pi-\-qhy de l'élément {pi-hqifY,
Si l'on nomme pareillement Q', ce que devient l'expression de Q, lorsque l'on y diminue l'intégrale finie S {pi -h qit) {li -^ mit) de l'élément (pi 4- qif) {U + mit), on aura
3 k" q; = Qj— --f^{pi+ qii]{li+mit).
Enfin, si l'on nomme Q'^ ce que devient Q2, lorsque l'on y diminue l'intégrale finie S {U ■+■ mitY de l'élément {li + mitY, on aura
La fraction
Ql
surpasse la fraction
