aa'+ab'+a'bY'+-^\^^~T'b^"'^ 1.2. ..(x — 2) b

En continuant ainsi, on aura les probabilités de toutes les hypothèses successives qui peuvent se présenter dans la supposition du gain de

la partie par le joueur B, jusqu'à celle où il ne gagnerait qu'au {x'-\- X — i)ième goup, événement dont la probabilité serait

i.2...(^— i) (aa' + «6'H- a'6)-*'-+--^-< '

et effectivement, dans ce cas, il ne peut y avoir de coups où les joueurs amènent en même temps une boule blanche.

La somme de toutes ces probabilités donnera évidemment celle du joueur B pour gagner la partie.

Si l'on fait attention que

ab' a! h , an

aa -\- ab' -\- a b aa -\- ab -\- a b b m

on retrouve l'expression de z^^^\

Concevons présentement qu'il y ait dans les urnes des boules blanches portant le n** i, et d'autres boules, de la même couleur, qui portent le n° 2; chaque boule diminuant de son numéro, par sa sortie, le nombre de points qui manquent encore au joueur auquel elle est favorable. Le problème n'est plus susceptible d'être résolu généralement au moyen des combinaisons, au lieu que le calcul des fonctions génératrices continuera à fournir une expression générale dont le développement contiendra la solution complète de la question et pourra, dans certains cas, s'eff'ectuer par des lois faciles à saisir, comme nous auron s occasion de le voir.

Soient p la probabilité du joueur A d'extraire une boule numérotée I, /?4 celle d'extraire une boule numérotée 2, et ^r celle d'amener une boule noire; p'tp\ et ^' les probabilités correspondantes pour le joueur B; et soit toujours s^-y la probabilité de ce dernier joueur pour gagner la partie. En suivant la même marche que plus haut, on sera conduit à l'équation aux différences partielles

Zx,x^=rnzx-\,x' + niiZx-'i,x' +m' Zx,x--\ +rn!^Zx,x■~1 H- nzx-\,x-{ + n\ Zx~2,x'-\ 4- n 2^-1, jr-2 -H n\ Zx—2,x'—2i

dans laquelle on fait