PQ' ^ P^Q'

y^qq' , qq>

PP' - „ /^'^'

lit,

i-qq'

PP'^ -n'.

i-qq i-qq i-qq' i - qq'

la fonction génératrice de la variable z^^^', donnée par cette équation,

sera

, . A-hBt'-hA'+B't

^*^' i~mt— niit^— m't'— m\t'-^ — ntt' — iiit^t' — n' tt'^- — n\tH'^^

A et B étant des fonctions arbitraires de t. A! et B' des fonctions arbitraires de t', lesquelles seront déterminées au moyen des fonctions génératrices de

qui le sont elles-mêmes par les conditions du jeu.

On trouve, comme précédemment, que la fonction génératrice de

5o,a;' est zéro et celle de z^^^, ~iri' De l'équation générale, on déduit l'équation aux différences finies

qui a lieu pour toutes les valeurs de x' depuis x'= i inclusivement, et qui donne conséquemment, pour la fonction génératrice de ^,,3,,

a-^ht' i — m't'—m\t'^''

aetb étant des constantes que l'on détermine au moyen des valeurs de 5, 0 et s, ,; et comme s,,o est égal à l'unité, z,,, est égal à m'-t-m,, et est en même temps le coefficient de t' dans le développement de la fonction génératrice ; il en résulte

a = i et b = m\;

la fonction génératrice de 2,,^,' est donc

Maintenant, si dans l'équation précédente on met i — fa^x' à la place de z^^^', y^^x' étant toujours la probabilité du premier joueur A, elle se reforme de la même manière par rapport à cette dernière variable, et l'on en déduirait pareillement l'équation aux différences finies

Mais on verrait en même temps qu'elle ne commence à avoir lieu que lorsque x surpasse 2; car, x étant 2, on aurait

Il ne faut donc l'employer qu'à partir de a? = 3, et alors la fonction génératrice de j^, est de la forme

a 4- bt-+-ct^

I — mt — nif t'^

a, b eic étant des constantes que l'on déterminera, comme précédemment, au moyen des valeurs de j,^o» y^,* et y,,2; or j,^o est l'unité; y,^, est égal à i — m'— m\, et est le coefficient de t dans le développement de la fonction génératrice ; jo.i ^ pour valeur, comme nous venons de le voir,

c'est le coefficient de t^ dans le développement de la fonction. On en

conclura

a= 1, b=:\ — m — m' — m\ et c = n» + n', ,

et la fonction génératrice de y^^, sera donc

I + ( I — m — m' — m\)t ->!- [rii -^- n\)t^ ^ 1 — int — niit'^ '

conséquemment celle de Zg.^^ est

I 1 + ( I ^ — m — m' — m', ) f -1- (/z 4 H- n', ) fs

I — t I — ml — m\t'^

__ [m' -\- m\)t -\-[n + n']t- + («, + «',)/» ~ (I— /) (1 — mt — niif^) '

Reprenons actuellement la fonction génératrice (c); on peut toujours la ramener à cette forme

Ai^+ îitt^t' + A\ -{- B', //'

i — nit— niif^ — m' t' — m\ t'^ — ntl' ~ Ht t^ t' — n' tf^ — n\f^t'-^^

A, et B, étant les fonctions arbitraires de t, A\ et B', les fonctions arbitraires de t'; lesquelles on détermine aisément, en égalant d'abord le coefficient de «° dans le développement de cette fonction à la fonction génératrice de Zg^^- ou zéro, ensuite celui de t"^ à la fonction génératrice de s^^o ou —37' puis celui de / à la fonction génératrice de s,^.,

et enfin celui de t' à la fonction génératrice de z^f, ce qui donnera successivement

et, par conséquent, pour la fonction génératrice de z^^^-, (ï — mt—mit^]t-h m', tt' -h n' t^t' -^ n\ n t'

I— t) (I— /nf— w,/2 rn't'—m\t'^— ntt' — Ui t'H' — n' W- — n\t- 1"^)

Si l'on suppose p et/?' nuls, alors on a

m = o, m'=o, n =z o, ni = o et n'=o, et la fonction (d) prend cette forme

[i— t)(i — miV-

SOUS laquelle elle est susceptible des mêmes développements que la fonction [a). Il est à remarquer que l'on retrouvera le même coefficient pour

liri'ir' i2r—\i>2r' ^2r^'2r'— I ^2r— I ^'2/-'-l .

ce qui se voit a priori, en faisant attention que les joueurs comptent toujours deux points à chaque boule blanche qu'ils font sortir.

Supposons que le joueur A ait seul des boules numérotées i et 2, et

que l'autre joueur n'ait que des boules blanches marquées i, ou qui ne lui comptent qu'un point en sortant; alors

et, par suite,

la fonction (d) devient

t(i— mt — m,t^)

i — t) [1 — mt — mxV^ — m' t' — ntt

'—tiit^t') i — t Vm'+[n-hnit]t\, Li — (m + m, /)^J

en la développant suivant les puissances de t' , le coefficient de t'^' sera

expression qu'il s'agit maintenant de développer par rapport aux puissances de t pour avoir le coefficient de t^; or ce coefficient sera la somme de tous les coefficients des puissances de t inférieures ou égales à t^~*, dans le développement de l'expression

laquelle, en omettant les termes où les puissances de t en dehors des binômes sont supérieures à f^'*, peut être mise sous cette forme

x' , , r x' ( n -\- n^tX ^ x'(x' — i)...(x' — x -i- 3) /« -t- «i A-^--2

x'(x'-\-i), X, , r x'{x'—i)...(x'—x-^ 4) /n-h nit\x-3 1

x'ix'-i-l). . .(x'-i- X — 2),

Si l'on rejette encore de cette série toutes les puissances de t supé-

SUPPLEMENTS. 633

Heures à t^"*, qui résulteront des développements des binômes, et si, dans ce qui reste, on fait i = i, on aura l'expression de z^^^'.

Examinons encore le cas où le joueur A serait certain d'extraire à chaque coup une boule qui compterait à ce joueur un point, c'està-dire où l'on aurait

p — i, Pi = o, q = o,

et conséquemment

m = q\ m, = o, m'=o, in\=:o,

n = p' , m =o, fV =p\, n\ =0.

La fonction génératrice de z^^^' ou la fonction [cl) se réduirait alors à

t[i — q't]-\-p\t^t' [l — t)[i~q't —p'tt' — p\ tt'^)'

et celle de ya;,x' serait, par suite,

{i — t)[i — t') [x — t)[i — q't — p'tt' — p\tf^]

i — t' [i—t')[i—q't — p'tt'—p\tt'^)

Dans cette dernière expression, le premier terme représente la fonction génératrice de Jc»» qui est égal à l'unité quel que soit x'^ et le second donnera, en le développant par rapport aux puissances de t et de t\ toutes les autres valeurs de yx,x'\ oi" le coefficient de t^ sera

d'où il résulte que, si l'on rejette du développement de la série

toutes les puissances de t' supérieures à t''^', et si l'on fait dans ce qui reste t'= i, on aura, en supposant ce' pair et égal à 2r-i- 2, le coeffi-

Œuvres de L. — VII. 80

cient de f't''", ou ^

^^ {x—i)/p'-\-p\\ ^ {x — \){x — i)/p'-\-p\Y ^ ^ ix~i){x — i)...{x — r)/p'^p\Y

{x—\){x — i)...{x — r~\)p''-+^V^ jr + i) p\ ^ (r-+-i)r p\^ ^ , (r-hi)r...i p'n

i.2...(r-Hi) q

Jx,x' = q'-^-^[ , (,r — r)(.r — 2)...(j: — r — 2) yy^+i' r (r -h 2) p\ , (r-(- 2) (r -f- 1). . -4 /^i''"*] ^

et, dans le cas de x' impair ou égal à 2r -+- 1,

, , /■^-^\ (P'^P\\ , (•'^~'^^-'^~^Y^''^,^'^y I ... 1 (-^-OC^ — a).-Cr-/') /yp'-^-/?;y (.^l)(.r-a)■.■(■r-^-I) p'^^'f , //•+A/^'. , (/•-+-i)r/>',^ (/•^i)r...3 py-n

i.2...(r + i) ?''■■*■' L \ I / /»' ï-2 p'2 ■■■ i.2...(r — I) />''-iJ

rx,a:' = î'-^"' { ^ (.r — i)(x — a)...(.r — r — 2) /?'>•+» f (r + a) p^ (/•4- 2) (r -4- i). . .5 /?7~n

Il est visible que le joueur B ne peut espérer de gagner qu'autant que X est plus grand que r+ i, soit que a?' égale 2/-+ 2 ou ar-h i; et effectivement, hors de cette supposition, les valeurs précédentes de yx,x deviennent toutes égales à l'unité.

Nous ferons aussi remarquer que le joueur A a nécessairement gagné la partie lorsque le joueur B aura tiré x — r— i boules noires avant d'avoir atteint x' points; mais ce dernier joueur peut encore avoir perdu avant d'avoir amené la totalité de ce nombre de boules noires, ce qui fait que cette question n'est point susceptible de rentrer dans celle qui est traitée dans la Théorie analytique, à la. suite du problème des partis, comme précédemment une supposition semblable nous a conduits à ce dernier problème.

3. Le problème des partis ayant été l'objet des recherches de deux

grands géomètres du xvii® siècle (*), et en quelque sorte le premier de ce genre soumis à des méthodes analytiques, on sera peut-être curieux de voir comment ce même problème se déduit encore, comme corollaire, d'une autre question de probabilité, dont la solution offrira d'ailleurs une nouvelle application de la méthode des fonctions génératrices.

On tire successivement d'une urne, qui contient une quantité déterminée de boules blanches et noires, une boule que l'on ne remet point après le coup, et l'on demande, après un certain nombre de tirages connus, quelle est la probabilité de compléter la sortie de tel nombre donné de boules blanches avant celle de tel autre nombre, également donné, de boules noires.

Soient a et al les nombres de boules blanches et noires contenues primitivement dans l'urne, n le nombre de boules blanches que l'on se propose d'atteindre avant d'avoir extrait un autre nombre /l'de boules noires; et supposons qu'après avoir tiré successivement de l'urne une boule sans la remettre, on ait amené n — x boules blanches et n' — x' boules noires, x et x' étant alors les nombres de boules blanches et noires qu'il reste à faire sortir pour décider la question. Représentons par yx,x' la probabilité d'amener dans les tirages suivants x boules blanches avant a?' boules noires, ou d'atteindre la totalité des n boules blanches avant d'avoir extrait n' noires; on aura, d'après les règles connues des probabilités, l'équation

^"•^'•^' ~ a-ha'—n — n'-h x -h x' ^•^-*-^' "*" a -h a — n — n' + x -h x' ^'''■^-*'

Faisons

a — n-h X = s, a' — n'-h x'=: s' et jt\f: i-/= Us,s'',

l'équation précédente devient

Us, s' = ; Us- 1 , «' H ; — ; Us s'-t ,

(1) Pascal et Fermât,

et, en supposant

Zs.s'y

elle se ramène à cette forme

équation aux différences partielles à coefficients constants, laquelle doit avoir lieu pour toutes les valeurs entières et positives de s et de s', à partir de s = a — n et de s'= a'— n', et donne conséquemment pour la fonction génératrice de s^,/

ta^nt'a'-n' A±AL \— t— t'

A étant une fonction arbitraire de t, et A' une fonction arbitraire de t'. On peut toujours transformer cette expression en celle-ci

ta-n l'a'-n' ^' ~^ ^'' ^' , l— t— t'

dans laquelle A, et A', sont de nouvelles fonctions arbitraires de t et de t'. Pour les déterminer, nous observerons que, jo,o "^ pouvant avoir lieu et j^,o étant égal à zéro, quelles que soient les valeurs entières et positives de x, on aura