Ç.I.2. , Aa' — n

o = ns,a'-n' =

Zs,d'—n' »

par conséquent la fonction génératrice de z^^'-n' sera nulle, ce qui donne

et par suite Aj = o.

la-n t'a'— II' .. — o

De plus, 7o,x étant égal à l'unité pour toutes les valeurs de ^' depuis j?'= r, on aura semblablement

I = Ua-n.s»

7^^ Za—n,s'i

1.2.3. ..(a — n -{- s' d'où l'on tire, pour la valeur de 5^-„,,' ou le coefficient de f-'H'^' dans le

développement de sa fonction génératrice,

ce qui donne

la—nf'ai—n' ' . — la—ni'a'—n' ! l i :

L "^ (a'— /i'+2)...(a'-n'+yl ^"-J

Le second membre de cette équation multiplié par — sera donc

la fonction génératrice de 5^,/; en la développant par rapport aux puissances de t et ensuite par rapport à celles de t'y il est aisé de voir que le coefficient de f ou de i«-«+^ est

xr<-+'''+''',-",-"'+^'<-^+...]

et que celui de t'^' , ou de ^'«'-«'+^' dans cette dernière expression, ou 5,,,', est égal à

a — n-\-\). . Aa + a' — n — ri + \)

[x{x-\-i)...[x -hx'— 2) a -h a'— n— n'-{- -î x{x -hi)...{x -h x'— 3) '~|

Maintenant, en multipliant cette valeur de s^,/ par

1 .2.3. . .[a' — n'+ ^') ( a'— rt'-i- :r 4- I ) . . . ( a + a'— n — «'+ a; + a:') '

on aura, après toutes les réductions, pour l'expression de yx,x'*

(a — n -^ .x). . .{a — n-hi) yx,x' — (^f-i^fj — „ — f^^ X -\- x'). . .{a -h a'— H — «'-f- .r'-f-i)

Concevons actuellement « — /z et a'— n' dans le rapport de/> à ^, en sorte que l'on ait a — n =^pk et a' — n'= qk, et imaginons que k devienne un très grand nombre ou l'infini ; il est clair que la probabilité de la sortie d'une boule blanche ou d'une noire dans les tirages successifs deviendra constante et sera ^ pour une boule blanche et — \ —

pour une noire, et la probabilité j^^.x' se réduira à cette expression

— ^-^-vr-^-i-,-^-^(^,

telle est la formule à laquelle conduit \q problème des partis, et effectivement nous rentrons dans les conditions de ce problème par la supposition de k infini.

Si l'on suppose n égal à a et /i' égal à a', j^^y exprimera alors la probabilité de la sortie de toutes les boules blanches restantes dans l'urne avant que toutes les noires aient été épuisées, et son expression se changera en celle-ci

\.7..Z...X r X ^(^ + 1) Xix -[-\]. . Ax + x' — 2]n

laquelle se réduit elle-même à

La probabilité d'extraire de l'urne la totalité des boules blanches

SUPPLEMENTS. 639

avant celle des noires est donc à la probabilité contraire en raison inverse du nombre des boules blanches à celui des noires.

On arrive à ce dernier résultat, d'une manière extrêmement simple, au moyen des combinaisons; en effet, la probabilité de la sortie de toutes les boules de l'urne, dans un ordre quelconque, par couleur, sera

xix — i). . .z.ix'ix' — I )...?., I 1 , ?.. 3 ... a:'

[X -h X' — l).. .3.2.1 {x -hï], . .[x -\- x')

Mais, pour que les boules blanches sortent en totalité les premières, il faut nécessairement qu'une boule de la couleur noire sorte la dernière : en combinant ce'— i k x'— i les a? -f- oo'— i rangs de sortie qui se trouvent avant le dernier, on formera autant de classements différents pour les boules de la couleur noire, et autant d'ordres de sortie par couleur, qui comprendront tous ceux où une boule noire sort en dernier lieu; or le nombre de ces combinaisons est