I .2.3. . . (5 — ijrt* rfô^-* \ I \ J r

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pourvu qu'après les différentiations on suppose Ô — a dans le premier terme, 6 = a' dans le second terme, ô = x" dans le troisième terme, etc. S'il n'y a qu'un seul facteur 6 — a, la fonction renfermée entre les deux

parenthèses se réduit à ^7:^:7) G devant être changé en a après les différentiations, ce qui réduit la quantité (o) à

Si dans l'expression de V quelques-uns des facteurs 6 — a, 6 — x', ... sont élevés à des puissances plus hautes que l'unité; par exemple, si H~x est élevé à la puissance m, il sera élevé à la puissance - f)is

dans ^» et alors il faut changer le premier terme de la quantité (o)

dans le suivant :

et dans les autres termes, il faut changer (0 — a)^ dans (0 — a)'"^ Représentons généralement par ZJ,^ " la quantité (o); le coefficient de ¥

dans le développement de la fraction y^-^^-g^ sera

Zf -+- Li^n Z -h Z,-2/i z- + Z/3„ z^ + . . . ;

on aura donc, pour le coefficient de 0' dans le développement de la

deuxième fraction de la page 19, ou pour la valeur de j.i

t-rt+2

4Zl«U + 2Z^il,„,,4-z2Z^il,,,,

e[zi»;,,, + zziiu,, + 2=^zi-!'3,„ +...]!

Présentement, si l'on désigne par ^y^ la quantité

par v^ jx ce que devient vj.r lorsqu'on y change/^ dans yj^, par V'^ Jx ce que devient v^ J^ lorsqu'on y change vjx dans v^Jx» et ainsi de suite, il est visible, par le n° 2, que le coefficient de t^ dans le déve-

loppement de -— sera sj'yx+r'-> en multipliant donc l'équation précédente par u et en ne considérant dans chaque terme que le coefficient de /•^, c'est-à-dire en repassant des fonctions génératrices aux coefficients, on aura

\ r-^i=r- [bz^^Jn^, + 6-z;-!U2 + ^zi-%,3 + .'. , m- qzn

+ Vj, [6Z}i> „., + cZ'^^n., + eZ}iU,3 + . , . + qZ'^,-] + V2j, [6Z<.^'3„,, + cZi^'3„-H2 + ^Zi-i'3„,3 + . • • + qZ'^Ànl

H-j.,., [cZ<.«U, +eZi.«>,, +... + ^Zl-«'J (B) { + '^r^^^[cZ'^J,n^, + eZlil,„^2 + • • - + ^Ziik-. ]

4- çr..+„,zi-^u. -1- ^Vj^+„, z^i'a,,^,^ «?V2j^.+«,zii'3,,^,