LIVRE PREMIER

Cette formule servira à interpoler les suites dont la dernière raison des termes est celle d'une suite récurrente ; car il est clair que, dans ce cas, VJa-» V^Jx» • • • vont toujours en diminuant et finissent par être nuls dans l'infini.

6. La formule (B) s'arrête lorsque l'on a ^''yx = o, r étant un nombre entier positif quelconque, et alors l'expression précédente de y^+t devient l'intégrale de l'équation aux différences finies v'^J/ = o, ce qui est analogue à ce qu'on a vu dans le n° 3, relativement à l'équation A^'j, • = o. Supposons vj^t = o, ou, ce qui revient au même,

o = ayt + byi+ , + c/i+a 4- . . . + qyi+n ;

si l'on fait x nul dans la formule (B) du numéro précédent, elle devient

r,-=ro(6zi.«u, + cZi-^,^2 + ezi»U3 + - ■ '-^qA'')

+ r* [c^'-'n.^ + eZl-«U, + . . . + qZt\)

-hqrn-iZfJ„^^;

JKo» y if J2> • • • > yn-i sont les n premières valeurs de y,; ce sont les n constantes arbitraires que l'intégrale de l'équation vyi = o introduit. La valeur de Zf^„^^ est égale à

aa'-«+2^a — a')(a— a")... aa'^-«+2 («'-«)(«'—«").. .

Ainsi, V étant égal à «(ô — a) (9 — (x')(9 — a"), . . ., le premier de ces termes devient

""'de

dV pourvu que l'on change 6 en a dans ^^ en n'ayant donc égard qu'au

OFMvres de L. — VU. k

terme multiplié par — .^ l'expression précédente de j/ deviendra

^''~ ""d'y] -l-j2(ea'^-<+ . .. + ^«2 ')

En changeant successivement, dans le second membre de cette équation, a en a', a", . . . , et réciproquement, on aura autant de termes qui, ajoutés au précédent, formeront l'expression complète de j^.

Nommons^ la fonction comprise entre les deux parenthèses, en sorte

que ce second membre soit -jy^* Si les deux racines ot et a' sont

égales, V sera de cette forme (6 — a)^L. On supposera que a et a', au lieu d'être rigoureusement égaux, différent infiniment peu, et que l'on a a' = a + dy.. Alors la somme des deux termes de yi relatifs aux racines a et a' sera

</a\ «''■+' L' a'+'LJ'

k' étant ce que devient k lorsqu'on y change a en a'; L et L' étant ici ce que devient L lorsqu'on y change G en a et a'. Cette quantité est donc égale à

^•+' L , doL

mais on a

9 devant être changé en a après les différentiations. La somme des termes de l'expression de j/, relatifs aux deux racines égales, est donc