LIVRE PREMIER

On trouvera de la même manière que, si V contient trois facteurs égaux, la somme des termes de l'expression de j, relatifs à ces trois facteurs est

et ainsi de suite. ZJ"' étant, par ce qui précède, le coefficient de 6' dans le développement de ^? il en résulte que j'/ est le coefficient de 6' dans le développement de la fonction

fn-tqO'

aQ"-hb6"-*-hc9"-^ + .. .-A-pB+q

Cette fonction est donc la fonction génératrice de j,- ou de la variable principale de l'équation aux différences vj, = o. La formule (B) du numéro précédent donnera pareillement la valeur de j, ou l'intégrale complète de l'équation aux différences 7^*7/= o; j"» VJo» Ji> • • » J«-o V/n-i seront les in arbitraires de cette intégrale. Le cas des racines égales se résoudra de la même manière que ci-dessus. On aura par la même formule l'intégrale des équations aux différences v'y, = o, S}" y-=i o, . . . , ce qui montre l'analogie qui existe entre l'interpolation des suites et l'intégration des équations aux différences.

Soit yi=: y.-{-y., et supposons que u' soit la fonction génératrice de y'i, et u" celle de y'\, u étant celle de y^ ; on aura m = m' -i- u". Soit encore

z ayant la signification que nous lui avons donnée dans le n** 5, et nommons X, le coefficient de /' dans le développement de X; on aura, par le n« 2,

Maintenant on a, par le n° 5,

or le coefficient de f, dans le développement du second membre de cette équati.on, est égal à celui de 6' "^ dans le développement de

et, par le numéro précédent, ce coefficient est égal àZji~y; donc le coefficient de ?' dans le développement de - sera

i-nst^O -T-^i-ns-i^i -r- -^i-ns-ii^i H- •••-+- ^0 ^{/if

OU 2X^Z.!r„y^, l'intégrale étant prise relativement à r, depuis r=o jusqu'à r= ï— m; ce sera la valeur de y^. Cela posé, si dans la formule (B) du numéro précédent on suppose V^7t= o, elle donnera, en observant que y,- = y] 4- jj,

r'i + 2x.zr„vU -ro ( 6zi.«u, + ^zi«u + • • • + ^z,^»' ) - + Vro(6zi-iu„ + 6'Zi.i',„^,+. . . + ^zii'„)

+r,(<?zi-»u,+... + ^z<.»',)

+ Vj,(cZl-iU+.+.--+gZ,-„,)

+ V^-< J, [cZtsn^^ + . . . + qli-sn+n-i)

7o» Vjo» • • •» V^~* jo' Jo ^Jm • • • étant les ns arbitraires de l'intégrale de l'équation V*j, = o ou

or, ^'y"i étant égale à X,, cette équation devient