LIVRE PREMIER

gnification que nous lui avons donnée dans le n° 5, et que l'on considère qu'en désignant qi le coefficient de 6' dans le développement d'une fonction quelconque de ô, ce même coefficient dans le développement de cette fonction multipliée par (^ — i ) sera, par le n** 2, égal à ^^Çi, on aura

jï- = ^'Z1«L,+ &'zZl-i',„„+ 6'z2Z[-»'3„,, +. . .

+ c'AZi-«U, + c'z\zyj,„,, + c'z^ AZ^1'3„„ + . . .

+ e'A2Z}»'„^, + e'2A2Zli'2„+, + e'z^AaZ;-^'

+ -^,\Z^Jn., + zZ^^],„,,-^...\.

Présentement il est clair, par le n** 2, que le coefficient de t^ dans le

développement de la fonction -7^ est A''V^j^; l'équation précédente

donnera donc, en multipliant ses deux membres par u et repassant des fonctions génératrices à leurs coefficients,

r^^i =r-r[6'z;-«'„v, + c azi-^u, + e' a^^zj.^u, -f- • • • + ^a«-' zi-«',,, ]

-H V j,(6'Zi.i',„,, + c' AZl-iW, + e'A^Zl-i',,,,. + . . . 4- 7 A«-< Z<.i>,,,^ + V2jr,(ft'Zi.i'3„,, + c'AZ[!>3„^. + e'A^Zl-^',^,, + . . . + qAn-^Zf\„,, )

+ Aj. (c'Zi-»U +e'AZl.«U, +... + ^A«-2Zl.«'„,, ) -f- AV j.: (c'Zl.i',„^, + e' AZi-l.',«„ -^ . . . 4- g A«-2zci) ^^j + AVYx(^'Zi.i'3«-.,+ e' AZi.i'3„„ + . . . 4- gA«-2z<.i'3„^,)

+ gZi«U, A«-' j,.+ qZ\%,^,^n-i Vr.+ qZ<ii\„^, A«-' V2j.r+ . . . ,

la caractéristique v se rapportant à la variable œ, et la caractéristique A se rapportant aux deux variables x et i.

8. Supposons, dans la formule précédente, x et i infiniment grands, de manière que l'on ait

dx' dx' '

yxu deviendra une fonction de cy + x', fonction que nous désignerons par <p(cy + a;'). Supposons, de plus,

l'équation

deviendra

Cette dernière équation donne, pour 6 — i, n racines /^/a?', f dx\ f"dx\ . . . , et par conséquent, pour 6, les n valeurs

e = i+fdx'y 6==i-{-f'dx', Q = i+f"dx\

Maintenant, si l'on suppose ^ = î-hhdx', on aura, i étant supposé infini.

= 1 i. , /,.• = I — ih dx' + — - A2 c?^2

[\-\-hdx'y- 1.2

■^-hx'

c étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est Tunité. D'ailleurs la quantité a est, par le numéro précédent, égale a a' — b' -^c' — ... ,

et par conséquent égale à al' — ^ - -f - . . . ± J-^, valeur qui se réduit