LIVRE PREMIER

Supposons que l'on ait l'équation différentielle

o = V*<P(gtH-x') — Va/,

V^ étant une fonction donnée de x' \ il faut, par le n** 6, ajouter à l'expression précédente de (^{xs -\- x') le terme /V;.X^,"y </r, XJJr" étant la même fonction de x' que X^^~'^ L'intégrale relative à /- doit être prise depuis r = o jusqu'à r = x . Cette intégrale définie peut, par le numéro cité, être transformée en intégrales indéfinies relatives à x .

De la transformation des suites.

9. La théorie des fonctions génératrices peut servir encore à transformer les suites en d'autres qui suivent une loi donnée. Considérons la suite infinie

(V) ro+r<a+/2a2 4-...+y'j,a-^-+-...,

et nommons, comme ci-dessus, u la somme de la série infinie

yo-\- X^(xt + yicc^ t"^ + . . . + rx<x.-^t^+ • . .,

le coefficient de t^ dans le développement de la fraction sera égal

à la somme de la suite proposée (V), prise depuis le terme j^-a^ inclusivement jusqu'à l'infini. Soit généralement s une fonction quelconque

de -5 et nommons Tiyx'y-^ le coefficient de t^ dans uz. Les coefficients de t^ dans ms^, ms% . . . seront n^j^-a^, n*j^a^, Cela posé, on multipliera le numérateur et le dénominateur de la fraction par^ —s.

et l'on prendra pour k ce que devient z lorsqu'on y fait t égal à l'unité ; k — z sera divisible alors par i -. Soit

le quotient de cette division ; on aura

u U.ll

u.hW ( l z^

ce qui donne, en repassant des fonctions génératrices aux coefficients,

Le signe S désigne la somme des termes depuis a; inclusivement jusqu'à l'infini. Supposons maintenant

on aura

n(rxa-^) — ai-^[axx + ^r^+i + cXj:+2 + ejrx+3 + ...)•

En désignant par Vy^; la quantité «j^: + ^Ja;4-i + • • • , on aura

n(7xa''^) = a-^Vj^, et généralement on aura

On a ensuite

ce qui donne