MM

En général, si l'on désigne par ^jx.x 1^ quantité

AXx.xf + B Jar+, , X' -+■ 0 Xx+i.x' + • - .

-h'B'Xx,j:'+i+C'Xx+\,x'+t-^ " .

+ C'yx,ar'+2 + . . .

si l'on désigne pareillement par v^7ar,a; une fonction dans laquelle

Œuvres de L. — VU. 7

\yx,x entre de la même manière que j^.^' dans vj^.a; ; si l'on désigne

encore par ^^yx,x une fonction dans laquelle sj'^yx,x entre de la même

manière quej^^.a;' dans siyx.x'* et ainsi de suite, la fonction génératrice

tle V'jx.x sera

partant, la fonction génératrice de A"A"V-^j^^ sera la fonction géné-

ratrice précédente, multipliée par (7 — 1) (-7—1

s étant supposée une fonction quelconque de - et de -,> si l'on développe *' suivant les puissances de ces variables, et que l'on désigne par imTVi' "" terme quelconque de ce développement, le coefficient de ixf^'xi çjjjj^g -— - étant ^ja;+;«,ir'+m'» oxi aura celui de t^t'^' dans us^, ou, ce qui revient au même, on aura ¥yx.x' ' i'* en substituant, dans s, y^, au lieu de j» y^' au lieu de ->•, 2° en développant ce que devient alors

M*' suivant les puissances de y^ et de j^;', et en appliquant respectivement aux indices x et x' les exposants de ces puissances, c'est-à-dire en écrivant, au lieu d'un terme quelconque tel que ^(ja^j^'lj^')'"' kyx+ni,x'+m'^ et par conséquent kyx,x au lieu du terme tout constant k, onk[yx'r(yx'Y.

Si, au lieu de développer 5' suivant les puissances de - et de -7» on

le développe suivant les puissances de - — i et de -7 — r, et que l'on

I ) ( 7/ ~" M un terme quelconque de ce dévelop-

pement, le coefFicient de t^t'^' dans ku[-—\\ (77 — 1) étant

k^"'' ^'^'yx,x'^ on aura l^x.x '- l'^en substituant dans Sy Ajj.,.^'au lieu

de - — I et '^yx,x au Heu de -, — i ; i^ en développant alors s^ suivant

les puissances de ùiyx,x' et 'Ay^r,»» et en appliquant aux caractéristiques A et 'A les exposants de ces puissances, c'est-à-dire en écrivant, au lieu d'un terme quelconque tel que ^(Aja?.a;')'"('AyaT,a;')'"'» celui-ci ^A'"'A'"'jar,x'» et par conséquent ky^^^^' au lieu du terme constant k.

Soit 2 la caractéristique des intégrales finies relatives k x, et "L celle des intégrales finies relatives à x'; soit de plus z la fonction génératrice de l^'l^'y^^^-'^ on aura zi^ — i\ i-, — ij pour la fonction

génératrice de yx.x' Cette fonction doit, en n'ayant égard qu'aux puissances positives ou nulles de t et de t\ se réduire à 2^; on aura ainsi, par le n** 2,

a, b, c, . . ., q étant des fonctions arbitraires de t', et «', b', c', . . ., g' étant des fonctions arbitraires de t; partant

Z>e l'interpolation des suites à deux variables, et de r intégration des équations linéaires aux différences partielles.

13. yx+i.x+i' est évidemment égal au coefficient de t^t^' dans le développement de 7^7,7;; or on a