LIVRE PREMIER

26. On peut de là conclure les valeurs de quelques intégrales définies singulières auxquelles j'ai été conduit, comme on le verra dans la suite, par le passage du réel à l'imaginaire.

Considérons la double intégrale

Jfi dxy dy c-J''<*-^'^'' ces rx,

les intégrales étant prises depuis x et j nuls jusqu'à x et j infinis. Eu l'intégrant d'abord par rapport à y, elle devient

/dx CCS r

' dx CCS rx

Intégrons-la maintenant par rapport à x. On a, par le numéro précédent,

Çdx CCS rx c-r'^' — ^ c *^ ,

JJ'xy dy dx cosrx. c^y* <*"*-^'' = V^tt Jdyc *J'*.

Il s'agit maintenant d'avoir cette dernière intégrale, prise depuis y nul jusqu'à y infini.

Pour cela, donnons-lui cette forme

Cfdyc \ ^y J i

r étant supposé positif, la quantité ( — 1 a un minimum qui

répond à j = \J - 5 ce qui donne 2r pour ce minimum ; soit donc

y = ^iZ + {\Jz

y devant s'étendre depuis j=o jusqu'à y = Qo, 5 doit s'étendre depuis z = — GO jusqu'à s = 00 . Cette valeur dey donne

dy = ^dz + ^

\/z^ + ar

En prenant les intégrales depuis s — — ao jusqu'à :; = ao , on a

fdz c-^ = v't:, - /-^^— = o '•

on a donc ''-

fdy f ' '^ ' = Jdy c-''-^r == c-^rji dz c"^' = 'lJL^ -, partant

On aura généralement, par la même analyse, l'intégrale

prise depuis j nul jusqu'à/ infini, et par conséquent aussi, dans les mêmes limites, l'intégrale

fx ^dxc ',

<T et 6 étant positifs et n étant impair. Cela posé, on aura

ff'2f dy dx CCS r x . c~y*<' ' ^■■'^'^ = — - -,

on a donc

/dxcosrx TT l -{- X'^ ~ 2C'"

En différentiant par rapport à r, on a

/x dx sin rx 7:

de là il est facile de conclure la valeur de l'intégrale

a -h bx) dxcosrx m -+- 'inx -\- x^

prise depuis x =^ — x> jusqu'à a? = 4- 00 , le dénominateur n'ayant point de facteurs réels en x du premier degré. Si l'on fait