LIVRE PREMIER

cette intégrale devient, en supposant ■ = a',

'a'->r bx') dx' \cos[r x' ^ m — n^) cosrn -\- s\xï{rx' sjm~ n'^)s\nrn\

Cette intégrale doit être prise comme celle relative à a?, depuis x'^= — ao

,, , !»• A' 1 Cx'dx'cosirx' \/m — n^) . j jusqu a X = <x> ; or 1 intégrale j — — —i prise dans ces

limites, est nulle, parce que ses éléments négatifs détruisent ses éléments positifs correspondants ; il en est de même de l'intégrale

I ^ s»"l^^ V.,^!^^Z. la fonction intégrale précédente se réduit donc à

/[a' cosrncos{rx' ^m — n*) + bsinrn s'm{rx' \/m — n^)x'^dx'

On a, par ce qui précède,

'dx' cos{rx' \/m — n^) ^ /^r-^

i-{-x'^ En différentiant cette expression par rapport à r, on a

/x' dx' sinirx' Jm — n^) , -.

on a donc

/[a-^hx\dxco<s,rx , , , . n / — t

^— —- = [« CCS m + h sm m )7:c-''v '"-»*. m -h inx -\- x'^ ^ '

On trouvera, par la même analyse,

/[a -\- h x\ dx ^xxvr X ,, , . , , — -,

i '- -— = 6 ces m — a sinr/i)7rc-'v '»-«*. m + inx -^ x^ ^ '

Si l'on différentie la première de ces deux équations i — i fois par rapport à m et ensuite is fois par rapport à r, on aura l'expression de l'intégrale

,., r x'^^dx[a-\-hx)(i,Q'S>rx

J [m-h-inx-hx^Y '

Maintenant, M et N étant des fonctions rationnelles et entières de x,

le degré de la première étant supposé plus petit que celui de la seconde, et N étant supposé n'avoir aucun facteur réel du premier degré,

on pourra, comme on sait, décomposer l'intégrale j ^dxcosrx en

différents termes de la forme («); on aura donc généralement l'expression de cette intégrale définie.

On aura de la même manière la valeur de l'intégrale

-^ dx sn\rx.

27. Reprenons maintenant la formule (B) du n*' 23. Le cas de [X H- I = 2 étant le plus ordinaire, nous allons exposer ici les formules qui y sont relatives. La formule (B) devient, dans ce cas,

ici l'on a

t = v^logY — logj,

/2 rf2U3

t^ rf3 U^