Chapitre I. — Des fonctions génératrices a une variable

u étant une fonction quelconque d'une variable t et j^ étant le coefficient de t^ dans le développement de cette fonction, u est fonction génératrice dej^x- Si l'on multiplie u par une fonction quelconque j de - > on aura une nouvelle fonction génératrice qui sera celle d'une fonction deja:, Jar+i, etc. En désignant par ^jx cette dernière fonction, «y' sera la fonction g'énératrico de v'Jx) en sorte que l'exposant de s, dans la fonction génératrice, devient celui de la caractéristique v dans la fonction engendrée. N" 2 7

De l'interpolation des suites à Une variable, et de l'intégration des équations différentielles linéaires 11

L'interpolation se réduit à déterminer le coefficient jx-^t de t^ dans le développement de -. • On peut donner à - une infinité de formes différentes : en l'élevant à la puissance i sous ces formes et repassant ensuite des fonctions génératrices aux coefficients, on a, sous une infinité de formes correspondantes, l'expression de ja:+i- Application de cette méthode aux suites dont les différences successives des termes vont en décroissant. N° 3 11

Formules pour interpoler entre un nombre impair ou pair des quantités équidistantes. N° 4 i3

TABLE DES MATIERES. clvii

Pages

Formule générale d'interpolation des séries dont la dernière raison des termes est celle d'une suite dont le terme général est donné par une équation linéaire aux différences, à coefficients constants. N° 3 1 8

La formule s'arrête lorsque la raison des termes est celle d'une suite semblable, et alors elle donne l'intégrale des équations linéaires aux différences finies, dont les coefficients sont constants. Intégration générale de ces équations, dans le cas même où elles ont un dernier terme fonction de l'indice. N" 6 aS

Formule d'interpolation des mêmes suites, ordonnée par rapport aux différences successives de la variable principale. N° 7 29

Passage de cette formule, du fini à l'infiniment petit. Interpolation des suites dont la dernière raison des termes est celle d'une équation aux différences infiniment petites linéaires, à coefficients constants. Intégration de ce genre d'équations, lors même qu'elles ont un dernier terme. N" 8 ii

De la traivtformation des suites. N° 9 35

Théorèmes sur le développement des fonctions et de leurs différences en se'ries .... 87

On déduit du calcul des fonctions génératrices les formules

'^"fx^ [(i -+- Aj^)' — 1]«, '2«j^= [(i + Aj^)' i]-«,

A et 2 se rapportant au cas où x varie de l'unité et 'A et '2 se rapportant au cas où a.varie de i. On tire de ces formules les suivantes :

dans lesquelles c désigne le nombre dont le logarithme hyperbolique est l'unité, et 'A et '2 se rapportent à la variation a de x. On transforme l'expression de 't^'^jx dans celle-ci

„ 2 d.v ^ 2 dx

On parvient à ces formules

^=[l0g(l+Aj,)]«, /«Ja;fltr» = [log(l -f- Aja,)]-».

Analogie entre les puissances positives et les différences et entre les puissances négatives et les intégrales, fondée sur ce que les exposants des puissances, dans les fonctions génératrices, se transportent aux caractéristiques correspondantes de la variable ja- Généralisation des résultats précédents. N° 10 37

Théorèmes analogues aux précédents sur lea produits de plusieurs fonctions d'une même variable et spécialement sur le produit /)^ja:- N° Il 44