Chapitre IL — Des fonctions génératrices a deux variables

u étant une fonction de deux variables t et t', et fx,x' étant le coefficient de t^t'^' dans le développement de cette fonction, « est fonction génératrice de ja:,a;'- Si l'on multiplie u par une fonction .y do - et -? j le coefficient de t^t'^^' dans le développement de ce produit sera une fonction deyx,x',Jx+ix',Xx^x'+i, etc.; en la désignant par \Xx x-1 its' sera la fonction génératrice de v^Ja: «'• N° 12 49

cLViii TABLE DES MATIERES.

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De l'interpolation des suites à deux variables et de l'intégration des équations linéaires aux différences partielles 5 1

Formule générale de l'interpolation des suites dont la dernière raison des termes est celle d'une série dont le terme général est donné par une équation linéaire aux différences partielles, à coefficients constants. N" 13 5i

La formule s'arrête lorsque la raison des termes est celle d'une série semblable, et alors elle donne l'intégrale des équations linéaires aux différences finies partielles, dont les coefficients sont constants. Cette intégrale suppose que l'on connaît ou que l'on peut déduire des conditions du problème n valeurs arbitraires de jx x', en donnant, par exemple, à x les n valeurs o, i, 2, ..., n — i, x' étant d'ailleurs quelconque. Expression très simple ÙQfxx', lorsque ces fonctions arbitraires en x' sont données par des équations linéaires aux différences, à coefficients constants. N° 14 55

Expression générale de yx^x' sous la forme d'intégrale définie ; remarque importante sur le nombre des fonctions arbitraires que renferme l'intégrale des équations à différences partielles. N° 15 57

Examen de quelques cas qui échappent à la formule générale d'intégration donnée dans ce qui précède; dans ce cas, les caractéristiques des différences finies que renferment les intégrales ont pour exposants les indices variables des équations aux différences partielles. N" 16 61

Intégration de l'équation

o = A«/x,u:'-+- ^ A«-i 'Aj^.x'-f- -, A«-2 '\^yx,x'-^. • -,

A se rapportant à la variabilité de x dont l'unité est la différence, et 'A se rapportant à la variabilité de x' dont a est la différence. On en déduit l'intégrale de l'équation aux différences partielles infiniment petites et finies, que l'on obtient en changeant, dans la précédente, a en de', et la caractéristique 'A en d. N° 17. . . 64

Théorèmes sur le développement en séries des fonctions de plusieurs variables 67

Ces théorèmes sont analogues à ceux qui ont été donnés précédemment sur les fonctions à une seule variable, et l'on y retrouve l'analogie observée entre les puissances positives et les différences, et entre les puissances négatives et les intégrales. N" 18 67

Considérations sur les passages du fini à l' infiniment petit 70

La considération de ces passages est très propre à éclaircir les points les plus délicats du Calcul infinitésimal. Elle montre avec évidence que les quantités négligées dans ce Calcul n'ôtent rien à sa rigueur. En l'appliquant au problème des cordes vibrantes, elle prouve la possibilité d'introduire des fonctions arbitraires discontinues dans les intégrales des équations aux différences partielles finies et infiniment petites, et elle donne les conditions de cette discontinuité. NM9 , 70

Considérations générales sur les jonctions génératrices 80

Trouver la fonction génératrice d'une quantité donnée par une équation linéaire aux différences finies, dont les coefficients sont des fonctions rationnelles et entières de l'indice. N° 20 80

TABLE DES MATIERES. eux

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Expressions des intégrales de ces équations en intégrales définies. Les fonctions sous le signe intégral / sont de la même nature que les fonctions génératrices des quantités données par ces équations. Ainsi tous les théorèmes déduits précédemment de l'analogie des puissances et des différences s'appliquent à ces intégrales. Leur principal avantage est de fournir une approximation aussi commode que convergente de ces quantités, lorsque leur indice est un très grand nombre. Cette méthode d'approximation acquiert une grande extension par les passages du positif au négatif et du réel à l'imaginaire, passages dont j'ai donné les premières traces dans les Mémoires de l'Académie des Sciences de 1782. Il paraît, par les Ouvrages posthumes d'Euler, que, vers le même temps, ce grand géomètre s'occupait du même objet. N» 21 83