CHAPITRE II

DE L INTEGRATION PAR APPROXIMATION DES EQUATIONS LINEAIRES AUX DIFFÉRENCES FINIES ET INFINIMENT PETITES.

29. On a vu, dans le n° 21 , que les intégrales des équations linéaires aux différences entre une variable s, dont la différence est supposée constante, et une fonction 7, de cette variable, peuvent être mises sous la forme j, = Jo^^cp dx, (p étant une fonction de ce de la même nature que la fonction génératrice de l'équation proposée aux différences, et l'intégrale étant prise dans des limites déterminées de x. En supposant s un très grand nombre, on aura, par l'analyse précédente, une valeur très approchée de cette intégrale et par conséquent dej,. Mais cette méthode d'approximation étant très importante dans la Théorie des Probabilités, nous allons la développer avec étendue.

Considérons l'équation aux différences finies

(«) S=A7,+ BAj,-4-CA2 j,-i-...,

A, B, G, . . . étant des fonctions rationnelles et entières de^, auxquelles nous donnerons cette forme

A-=a + a^*h + a^^^s{s — i] -ha^^^s[s~ i)(* — 2) H-. . ., B = b -h b^*^ s -h b^^^ s{s — 1) -h b^3^ s [s — j)[s — 2) +..., C =e-he^*^s-h e^^Uis — i] -he^^^s{s— i){s ~ 1] -h . . .,

Ays est la différence finie de 7,, s étant supposé varier de l'unité; A'j,,

A'/,, . . . sont les seconde, troisième, . . . différences dey,, et S est une fonction de s. Cela posé, représentons j, par /^* 9 c^a?, 9 étant une fonction de X qu'il faut déterminer, ainsi que les limites de l'intégrale. En désignant œ" par \y, on aura

on aura ensuite

dx ^ ' dx^

l'équation (i) aux différences devient ainsi

èy\a -h b [x — i) ■+■ e (x — i)^ -+- . . .] X dèf

S =f(fdx

dx

[fl(0 4-6(0(a;,)4-e(0(^i)2+...]

+ ^l^-p-[aW + bW{x - i) -f- e(2)(a: 1)2 + . . .]

Au lieu de faire j, égal à Jx^a^dx, on peut le supposer égal à fc~'"^(s^ dx ; alors on a

ùiys=Jc-^^[c~^ — \)(^dx, A^Xs^=fc~^-^{c--^ — i)^(fdx,

De plus, si l'on désigne c~^^ par ^y, on aura

'"^ - dx' ' "^ ~ dx^' '

en mettant donc les coefficients de l'équation (i) sous cette forme,

A = rtH-a(*)5 + a(2)52,. . .^ B = 6 + 6(05 -(-6(2)52+..., C = e + e(05 + e(2)52+...,