LIVRE PREMIER

cette équation prendra la forme

/ ôj[a -hb (c--«^ — i) -f-e (c--« — 1)2 + . , .] |

\ ~ ^ [«<'' + 6('5(c--^-i) H e{')(c--*i)2,.. .] I S = f<D dx 1 '>•

En représentant généralement y, par ffyr^dx, les deux formes que l'équation (i) prend dans les suppositions de 8/ = x^ et de Sy = c~^-^ seront comprises dans la suivante

M, N, P, Q, ... étant des fonctions de x indépendantes de la variable s, qui n'entre dans le second membre de cette équation qu'autant que Zy et ses différences en sont fonctions.

Maintenant, pour y satisfaire, on intégrera par parties ses différents termes ; or on a

j-^v^dx^-^v^-^r-^+Sir-iî^dx.

l'équation précédente devient ainsi

a r^ j Ft.» ûf(N9) d^i^o) dHQo) \

"^ L ^ dx dx'^

■^ di ^"^ dx -^■•-

C étant une constante arbitraire.

. OF.uvres de L. — VH. 15

Puiscfue la fonction 9 doit être indépendante de s et par conséquent de fy, on doit égaler séparément à zéro la partie de cette équation affectée du signe /, ce qui partage l'équation précédente dans les deux suivantes :

,s=c.a,[N,-^-l-tl^q^.,.]

3) { ^ dx L^ dx ^■■■]'

La première de ces équations sert à déterminer la fonction 9, et la seconde détermine les limites dans lesquelles l'intégrale /Sj'9é/ir est comprise.

On peut observer que l'équation (2) est l'équation de condition qui doit avoir lieu pour que la fonction différentielle

soit une différentielle exacte, quel que soit ty; et dans ce cas l'intégrale de cette fonction est égale au second membre de l'équation (3); 9 est donc le facteur en x seul qui doit multiplier l'équation

pour la rendre intégrable. Si 9 était connu, on pourrait abaisser cette équation d'un degré, et, réciproquement, si cette équation était abaissée d'un degré, le coefficient de ^y, dans sa différentielle divisée par Mdx, donnerait une valeur de 9; cette équation et l'équation (2) sont conséquemment liées entre elles, de manière qu'une intégrale de l'une donne une intégrale de l'autre.

La valeur de 9 étant supposée connue, on aura celle de r^ au moyen