LIVRE PREMIER

d'une intégrale définie. L'intégration de l'équation (i) aux différences finies est donc ainsi ramenée à l'intégration de l'équation (2) aux différences infiniment petites et à une intégrale définie.

Considérons présentement l'équation (3) et faisons d'abord S = o.

Si l'on suppose que ôj, -^> '^tt' ' ' ' deviennent nuls au moyen d'une

même valeur de x, que nous désignerons par h, et qui soit indépendante de s, il est clair qu'en supposant C nul, cette valeur satisfera à l'équation (3), et qu'ainsi elle sera une des limites entre lesquelles on doit prendre l'intégrale f^yr^dx. La supposition précédente a lieu visiblement dans les deux cas de ^y = x^ et de Sj = c~^^ ; dans le premier cas, l'équation ^ = o, et dans le second cas, l'équation ^p = oc rendent

nulles les quantités ty, -j^i 772' "*' Pour avoir d'autres limites de

l'intégrale /^jç dx, on observera que, ces limites devant être indépendantes de s, il faut, dans l'équation (3), égaler séparément à zéro les

coefficients Je ^y, -r^^ ••••> ce qui donne les équations suivantes :

Ces équations sont au nombre de i, si i est l'ordre de l'équation différentielle (2); on pourra donc éliminer, à leur moyen, toutes les constantes arbitraires de la valeur de 9, moins une, et l'on aura une équation finale en x, dont les racines seront autant de limites de l'intégrale f^ya^dx. On chercbera par cette équation un nombre de valeurs différentes de X, égal au degré de l'équation différentielle (i). Soient q, q^*\ q^^\ ... ces valeurs; elles donneront autant de valeurs différentes de <p, puisque les constantes arbitraires de <p, moins une, sont déterminées en fonctions de ces valeurs. On pourra ainsi représenter

les valeurs de 9 correspondantes aux limites q, q''^\ q^^\ ... par B>^, B(0),(0, B(=^'V-\ ..., B, B^'\ B^^K ... étant des constantes arbitraires, et l'on aura, pour la valeur complète de j^,

Xs = B/Ôj ldx + B(0/ôj l(^^dx+ BC^^fèy IW dx+...,

l'intégrale du premier terme étant prise depuis x = h jusqu'à x = q, celle du second terme étant prise depuis x=^h jusqu'à ^ = ^('^ et ainsi du reste. On déterminera les constantes B, B'*\ ... au moyen d'autant de valeurs particulières de j^.

Supposons maintenant que, dans l'équation (3), S ne soit pas nul. Si l'on prend l'intégrale Jty a^dx depuis x =z h jusqu'à x égal à une quantité quelconque /?, il est clair que l'on aura C = o, et que S sera ce que devient la fonction

dx

lorsqu'on y change x en p. Ainsi, pour le succès de la méthode précédente, il est nécessaire que S ait la forme de cette fonction. Faisons, par exemple, ^y = x\ et

S = /?^[/ H- /(O5 + /(2)5(5 - i) + /(3)5(5 - I ) (.« - 2 ) + . . .] : en comparant cette valeur de S à la précédente, on aura

X devant être changé enyo dans les seconds membres de ces équations, dont le nombre est égal au degré de l'équation différentielle (2). On pourra donc, à leur moyen, déterminer les constantes arbitraires de la valeur de <p, et si l'on désigne par ^ ce que devient 9 lorsqu'on a ainsi