LIVRE PREMIER

déterminé ses arbitraires, on aura

y-s=z J x^ ^ dx.

De là et de ce que l'équation (i) est linéaire, il est facile de conclure que, si S est égal à

en nommant ^j;', • • • ce que devient tj/ lorsqu'on y change successivement />, /, /^'^ ... en/?,, /j, /'/', . . ., en /?2, . • ., on aura

ys z= fx^ ^dx -\- Jx^ 'i^' dx -\- . . . ,

la première intégrale étant prise depuis x = h jusqu'à oc =^p, la seconde étant prise depuis x^=h jusqu'à x =/?,, .... Cette valeur de j, ne renferme aucune constante arbitraire; mais, en la joignant à celle que nous avons trouvée précédemment pour le cas de S nul, on aura l'expression complète de y^-

30. Supposons maintenant que l'on ait un nombre quelconque d'équations linéaires aux différences finies entre un pareil nombre de variables y^, j^, j^, . .., et dont les coefficients soient des fonctions rationnelles et entières de s. Faisons alors

y,—Jx'(Sf dx, x's = /^^ ?' dx, y, = fx' 9" dx, ...,

ces diverses intégrales étant prises entre les mêmes limites déterminées et indépendantes de s. Nous aurons

Axs=fx^[x — i](fdx, A^j's = fx^{x — i)^(p dx, ...,

Axs=f^^{^ — i)9'dx, à^y^=fx^{x — i)-cf'dx, ...,

Les équations dont il s'agit pourront ainsi être mises sous les formes suivantes

^=^fxszdx, S' = fxsz'dx, ?>" = fx'z"dx, ...,

S, S', S", ... étant des fonctions de s seul, et z, z\ z'\ ... étant des fonctions rationnelles et entières de la même variable, et de x, 9, (p', '/', . . ., dans lesquelles 9, 9' . . . sont sous une forme linéaire. Considérons d'abord l'équation

on a

la caractéristique A des différences finies étant relative à la variable s, et Z, AZ, . . . étant ce que deviennent z. As, . . . lorsqu'on y suppose s = o. On aura donc

S z=z fx^ dx Tz -1- * AZ -+- ^^f^ A2Z -f- . . .1 . Si l'on fait ir^= Sy, on aura

SX^=X —/-•, sis — \]X^=X- —f-r--, "•'.

dx ^ ' dx'^

l'équation précédente devient ainsi

d'où l'on tire, en intégrant par parties comme dans le numéro précédent, les deux équations suivantes

, , ^ dixàZ) d^ix^A^Z]

dx 1.2 dx'^

S = L + ôr|^.AZ--A-^^4-...J

dày /ar2A2Z

dx \ 1.2

C étant une constante arbitraire. L'équation

^'=:zjxn' dx.