CHAPITRE m

APPLICATION DES MÉTHODES PRÉCÉDENTES A L APPROXIMATION DE DIVERSES FONCTIONS DE TRÈS GRANDS NOMBRES.

Parmi les diverses fonctions auxquelles ces méthodes peuvent s'appliquer, je vais considérer les produits des nombres, les développements des polynômes et les différences infiniment petites et finies des fonctions, ces diverses quantités étant celles qui se présentent le plus souvent dans l'Analyse des hasards.

De V approximation des produits composés d'un grand nombre de facteurs, et des termes des polynômes élevés à de grandes puissances.

33. Proposons-nous d'intégrer l'équation aux différences finies

o = [s-\-\)xs—ys+\.

Si l'on y suppose

ys = fx^ 9 dx,

on aura, en désignant x^ par %y.

oz= fc^dxY[i-x)ày-\-x-^\..

d'où l'on tire, en intégrant par parties, suivant la méthode précédente, les deux équations suivantes:

d{x(f) dx

O r= Jl-f+l m

La première équation donne, en l'intégrant,

et la seconde donne, pour déterminer les deux limites de l'intégrale faf cp doo,

ces limites sont par conséquent ce = o et x = cxi . Ainsi l'on a

y g =: A fx^ dx c~-^,

l'intégrale étant prise depuis ^ = o jusqu'à ^ infini, et A étant une constante arbitraire.

Pour avoir cette intégrale en série, on déterminera, conformément à la méthode exposée dans le n° 23, la valeur de œ qui rend x^c -^ un maximum ; cette valeur est s. On fera donc, suivant la méthode citée.

En supposant x — s -v-^, cette équation devient

partant.

ce qui donne, par le retour des suites.

par conséquent.

^ 9 ^is

dx = dB = dt \ji i- ( I H ^-= -f- ^ — !-•••);

3 ^is "-^

la fonction Jx^ dxc'^ deviendra donc

L'intégrale relative à x devant être prise depuis x nul jusqu'à x infini,

OEuires de L. — VU. 17

l'intégrale relative à / doit être prise depuis t = — x» jusqu'à i = x En intégrant comme dans le n" 31, on aura

Xs = As' ^ 2 C-^ V^2 TT ( I + — +... )

On peut déterminer fort simplement le facteur i -+- h... de cette

manière. Désignons-le par

ce qui donne

En substituant cette valeur de ys dans l'équation proposée

ou

or on a

On aura donc, en observant aue c "*' = i 1 s^