Considérons maintenant l'équation générale
o = {a'-h b's]ys+\ — {a-\- bs)jrs.
Si l'on fait
elle prend cette forme
o = (n' -}- s H- 1 ]ys+\ — [n-\- s]pys- Supposons
ysT=fx^~^ <fdx;
nous aurons, en intégrant par parties,
0 = x^ (p{x — p) + fx^-^ [ odx[n'x — np) + [p — x]x d<f].
Cette équation donne, pour déterminer (p, la suivante
o = ( n'x — np] (fdx -h [p — x)x d(f, d'où l'on tire, en intégrant,
<p = Aa;«(p — :c)«'-«,
A étant une constante arbitraire. On aura ensuite, pour déterminer les limites de l'intégrale, l'équation
o = ^r* <^{p — x) ou
Œuvres de L. — \\\. 18
Ces limites sont donc oe = o et x ^=p, si n -h s et n' -\- i — n sont des quantités positives. Ainsi l'on aura, en prenant l'intégrale dans ces
limites,
Xs = Afx"^'-^ dx [p — a;)«'-«.
On déterminera la constante A, au moyen d'une valeur particulière de y s. Soity,i cette valeur; on aura
par conséquent,
r(x/^"+^-' dx[p — xY'-'^ ^'^ j'^«+iA-) dx [p^^xy-"- ' : .:
Intégrons présentement l'équation proposée aux différences en j^. Son intégrale est
— (« + jtJt)(w-l-|tjt-f-l)...(7?-4-5— l) •^*~' (rt'-+-^-Hl)(/i'+p. -+- 2).. .(n' + 5)^''^ •
Dans cette expression, comme dans toutes celles formées de produits, les facteurs du numérateur ne commencent que pour la valeur de s qui rend le dernier facteur égal au premier, ce qui a lieu ici lorsque s est égal à (A + 1 ; il en est de même des facteurs du dénominateur. Pour la valeur de s égale à \l, le numérateur et le dénominateur se réduisent à l'unité qui est censée les multiplier l'un et l'autre. Si l'on compare les deux expressions précédentes de j,, on aura
[n -^ lx)[n-\- ii + \]...[n + s — \) ^ __Jx''+^-^dx[p — xY'-'^ [n'-h iJL-\- i) {n' -h ^ -h -î] . . .{n' -^ s)^ ~ /^«+!*- ^dx[p— x)"'-" '
¥ SLisons p — X = pu^ ; le second membre de cette équation deviendra
ns-\i- -L '^ 1
'^ Ju^n'-2n+s du[i — m2)«+1J--<
les intégrales étant prises depuis m = o jusqu'à m = i, parce que ces limites répondent aux limites x =/? et ^r = o. On a donc
( n + jLf. ) ( /t H- //. -4- I ) . . . ( n + ^ — I ) /m'-«'-2«+< da[\ — t/^ )"+■?-' ( /l' + fy. + I ) ( «' + fx --t- 2 ) . . . ( n' H- 5] ~ J'u^'i'—^n+\ du{i — m2j«+|a-) ■
Supposons n — \, «' = o et jx = i ; si l'on observe que
fdu \J l — U- =: jTT,
on aura
fdu (i — «2)
Le premier membre de cette équation est le coefficient du terme
moyen, ou indépendant de a, du binôme ( — h «) ; on aura donc, au
moyen des méthodes précédentes, ce coefficient par une approximation rapide, lorsque s est un grand nombre. Pour cela, nous ferons ,
ce qui donne
et
fdu{i~n^) ' = fduc Supposons
En prenant les différences logarithmiques des deux membres de cette équation, on aura
I + 3txq(*U^-h 5g2y(2)f4{ rja3q(3)t6^. . . a.tc-^^^ et ce dernier membre est égal à
On aura donc, en comparant cette quantité au prepiier membre et réduisant au même dénominateur, l'équation générale
+ flf'-*)
q^^^ étant égal à l'unité. Si l'on fait successivement dans cette équation ï = I, i=i, ï = 3, ..., on aura les valeurs successives ç'^'^ q^'^\ q^^\ ..., et l'on trouvera
On aura ensuite
L'intégrale relative à u devant être prise depuis u = o jusqu'à ii— \, l'intégrale relative à t doit être prise depuis t nul jusqu'à t infini; on aura donc, par le n** 24,
fdu[\ — u^) 2 partant,
Ainsi l'on aura, par une suite très convergente, le terme moyen, ou
indépendant de a, du binôme (- +a| .
On parviendra plus simplement à ce résultat par la méthode suivante, qui peut s'étendre à un polynôme quelconque.
35. Nommons j, le terme moyen, ou indépendant de a, du binôme {--\-a\ , ou, ce qui revient au même, le terme indépendant de
^cTv/-i jaj^g jg développement du binôme [c^"^"^ ^-c^^^)^^ Si l'on multiplie ce développement par dvs et qu'on l'intègre depuis cr nul jusqu'à Ts = ^7c, il est facile de voir que cette intégrale sera \ r.y^, et qu'ainsi l'on a
