LIVRE PREMIER. Ul

En effet, en développant le binôme renfermé sous le signe/, et substituant, au lieu de cf^^''^s'-\ sa valeur cos2rCT ± /— i sin2rCT, on aura le terme moyen du binôme, plus une suite de cosinus de l'angle 2vs et de ses multiples; en les multipliant par dxs et les intégrant, cette suite se transformera dans une suite de sinus de l'angle 2C7 et de ses multiples, sinus qui sont nuls aux deux limites ct = o et xs = {7:. Il ne restera ainsi dans l'intégrale que le terme moyen du binôme, multiplié par ^Tc. Gela posé, si l'on substitue, au lieu du binôme çCTy/-) f ç-dy/-!^ g^ valeur 2 cosu, on aura

is^i

Xs = fdxs cos^^cT ;

en supposant sina = w, on aura

l'intégrale étant prise depuis u = o jusqu'à w=i, ce qui coïncide avec ce que l'on a trouvé dans le numéro précédent.

Considérons maintenant le trinôme (- -h i -h aj , et nommons y, le

terme moyen, ou indépendant de a, dans le développement de ce trinôme. Ce terme sera le terme indépendant de c^^^f-^ dans le développement du trinôme (c^v/-< + i 4- c~^^'*Y; on aura conséquemment, en appliquant ici le raisonnement qui précède,

Xs= - fdiJ3{i-\- ncostsY,

l'intégrale étant prise depuis u = o jusqu'à u = 7:. La condition du maximum de la fonction (1 -f- 2coscj)* donne sinCT = o, en sorte que les deux limites de l'intégrale, rs = o et ci = 77, répondent à des maxima de cette fonction; on partagera donc l'intégrale précédente dans les deux suivantes

fdxs[i + 2 cosgt)^, (— \Yfdxs['3. cosxs — i)^, la première de ces intégrales étant prise depuis tj nul jusqu'à la valeur

(le HT qui rend nulle la quantité 2coscy-i-i, et la seconde intégrale étant prise depuis tr = o jusqu'à sa valeur qui rend nulle la quantité

2C0SCT — I.

Pour obtenir la première intégrale en série convergente, on fera

(i + 2COS5j)^= 3^c-^';

en supposant a = -» extrayant la racine s de chaque membre, et développant coscT et c""^', on aura

6 — m- -\ ...=:=3 — ocxt^ H ....

d'où l'on tire, par le retour des suites,

partant,

fdrs[i + 2C0S5j)^= — --/^/c'-'M I — -^ h. . . 1 .

L'intégrale relative à t doit être prise depuis t nul jusqu'à t infini; on aura donc

Jd-0S[\ + 2 COSGj)^ = -- ' ■

2 sjs

On trouvera de la même manière

v/tt / 5

on aura donc

fdvsi-i. COSOT — l)^= -— ( I -. — [-...)

Q.SJST.\ '^* / 2\/*1t\ '^*

.V étant supposé un très grand nombre, cette quantité se réduit à très

peu près à — ==• C'est l'expression fort approchée du terme moyen, ou

indépendant de «, du binôme ( -