THÉORIE ANALYTIQUE DES PERTURBATIONS DE JUPITER ET DE SATURNE
Équations générales des mouvements de Jupiter et de Saturne.
Soient ir,j, z les coordonnées rectangles de Jupiter, rapportées au centre du Soleil; soit m la masse de cette planète, celle du Soleil étant prise pour unité ; soient x', y', z' les coordonnées de Saturne et m! sa masse; soit de plus
r'=: \Jx'^-\- y'
L'action du Soleil sur Jupiter, décomposée parallèlement à l'axe des X et dirigée vers l'origine sera -7^; l'action de Saturne sur Jupiter, décomposée parallèlement au même axe et dirigée dans le même sens que la première, sera m' {x — x')\^ ou ~m'-r-« Ces deux actions réunies solliciteront donc Jupiter parallèlement à l'axe des x et vers l'oriffine des coordonnées avec une force é^ale à -^ — m'-r-- Mais, comme dans la théorie des planètes on suppose le Soleil immobile, il faut transporter en sens contraire à chacune d'elles les forces dont il est animé; or, cet astre, en vertu des actions réunies de Jupiter et de Saturne, est sollicité parallèlement à l'axe des x et en sens contraire de leur origine par une lorce égale a —^ — 1 r^\ ainsi Jupiter, dans
son mouvement relatif autour du Soleil, est sollicité vers cet astre par une force parallèle à l'axe des x et égale à
T^ 1 Tl '^ 3- •
H r^ ôx
Si l'on change successivement, dans cette expression, x et x' dans y et y, et dans z et z' , on aura les forces qui sollicitent Jupiter parallèlement aux axes des y et des 5, et vers l'origine des coordonnées; en nommant donc dt l'élément du temps et en le supposant constant, les principes connus de Dynamique donneront les trois équations différentielles suivantes :
dPx {\-\-ni)x m' x' , <)1
^^^ ^ ''- df' + ^3 + ,..3 '^ ^y
d^z (\->rm)z m' z' .d'k
dt^ /•' /•'* dz
La considération du mouvement de Saturne autour du Soleil donnera pareillement les trois équations suivantes :
d^x' (x -h m')x' mx d'k
"= rf^+ 7^> + -^-m
d^z' (i-hm')z' ^~ dt^ "^ r'»
C'est de l'intégration de ces six équations différentielles que dépend toute la théorie des mouvements de Jupiter et de Saturne.
On peut facilement en obtenir quatre intégrales premières de la manière suivante.
On multipliera la première de ces équations par
•3.ni{Tndx -\- m' dx')
2 tn dx ; •)
la deuxième par
imimdY -}- m' dy' )
'imdy ■ ~ — >
""àx'
my
dy'
mz ,.3
la troisième par
, ini(mdz -\- m' dz' )
imaz ; ,
la quatrième par
, , , im' [m dx -h m' dx' )
im' dx ^^ ; -^
la cinquième par
, , , im' (mdY -\- m' dy'\
1 m' dv • , '^ ' ,
enfin la sixième par
, , , •2Tn' (mdz -\- m' dz')
im' dz' ^^ ; -\
en ajoutant ensuite toutes ces équations et en observant que l'on a
dx dx'
àf àf
dx dx' '
àf ' àf
""-dz ' dz'
on formera l'équation suivante
^mjdxd^x -h dy d'^y + dz d^z) *^~ dfi
-im' {dx' d^ x' -\- dy' d^ y' + dz' d'^ z') dt^
ijmdx + m' dx') md^x -\-m' d^x' i-{- m-{- m' dt^
2{mdy-h m' dy') m d^y + m' d*y' 1 + m + m' dT^
'i.{m dz -\- m! dz' md^z + m' d^z' i-\- m-\-m' dt^
(mdr m' dr'\ + 2 (^-^ + -772- j - 2/wm' dl.
Cette équation donne, en l'intégrant,
^ midx*-h dy* -+- dz* ) m'( dx" + dy'* -^ dz'*) o—f-\ ^ "^ ' . ^ ■/
dt* dt*
{mdx -{- m' dx'Y-^ {mdy -\- m' dy'y-\- (mdz -f m' dz')*
(1 + m -f- m') dt*
fm m'\ ,-
f étant une-constante arbitraire.
Si l'on multiplie encore la première des équations différentielles de l'article précédent par
mlmy -^ m' y')
la seconde par
m(mx -\- m' x') \-\- ni-\- m'
la quatrième par
et la cinquième par
, , m' (mx -\- m' x')
si l'on ajoute ensuite ces équations, en observant que l'on a
dy "^ dx dy' "^ dx'
d\ dl âl âV
ax ox' dy dy
on aura
m{xd^y — yd^x) m'{x'd*y' — y'd*x') ^ ~ dt^ ' dt^
mx -^ m'x' m d^y ■+- m' d^y' 1 -]~ m -\- m' dt*
my -{- m' y' m d* x -]- m' d^ x' I 4- m -+- m' dt*
10/t THÉORIE DE JUPITER ET DE SATURNE,
équation dont l'intégrale est
m{xdy — y dx) m'{x'dy' — y'dx')
dt
dt
mx H- m! x'
mdy -\- m' dy'
dt
m dx + m' dx'
i-\- m-\- m' dt
c étant une constante arbitraire.
Si l'on change dans cette intégrale y en s, on aura
m(xdz — z dx) m'(x'dz' — z'dx')
dt
dt ,
mx H- m! x'
ntdz -\- m' dz'
dt
mz + m' z'
m dx -h m' dx'
