I -\- m ^ m' dt

d étant une nouvelle arbitraire.

Enfin si, dans cette dernière intégrale, on change x en j, on aura

^,__ m{y dz — z dy) m' { y' dz' — z' dy' ) dt dt

... ■ my + m'y' rndz -\- m.' dz'

^ i-{- m -\- m' dt

m,z-\-m.'z' m. dy -^- m,' dy'

I + m + m dt

c" étant une arbitraire.

Les quatre intégrales précédentes sont les seules que l'on peut obtenir dans l'état actuel de l'Analyse; elles sont insuffisantes pour déterminer le mouvement des deux planètes m et m', mais elles don-

nent, entre les variations séculaires des éléments de leurs orbites, des rapports intéressants que nous allons déterminer.

Pour cela, nous observerons que les masses m et m' étant fort petites, on peut, à chaque révolution, considérer les orbites de Jupiter et de Saturne comme étant à très peu près elliptiques; mais l'action mutuelle de ces deux planètes change la nature et la position de leurs ellipses, par des nuances insensibles dans un court intervalle, et que la suite des temps rend très remarquables. Ces ellipses, dans leurs variations, conservent entre elles des rapports constants qui résultent des intégrales précédentes. Soient a le demi grand axe de l'ellipse de m; ea son excentricité; 0 la tangente de l'inclinaison du plan de cette ellipse sur le plan des x et des j; I l'angle que fait l'intersection de ces deux plans avec l'axe des x. Soient, de plus,

0sinl=/?, 9cosI = 7;

on aura, par la nature du mouvement elliptique et en négligeant m vis-à-vis de l'unité,

dx^ + dy"^ -h dz^ 2 i dt- r a

X dy — y dx

dt

= sn

X dz — z dx /« ( I — ^* )

dt

y dz — z dy a{\ — e* )

dt

sl%

Si l'on marque d'un trait les lettres a, e, 0, /?, q, pour avoir celles qui sont relatives à m', ces équations subsisteront encore en accentuant les lettres qu'elles renferment. Gela posé, si l'on substitue les valeurs de leurs premiers membres dans les intégrales (i), (2), (3) et (4); si l'on néglige ensuite les quantités constantes ou périodiques de l'ordre m^, on aura, entre les éléments des ellipses des deux pla-

OPAivres de L. — W. l4

nètes, les quatre équations suivantes :

„ la{\ — e* ) , , fa' (

Ainsi, en supposant que, par l'action mutuelle des deux planètes, les éléments a, «', e, e\ 6, G', /?, /?', q, q' subissent des variations très sensibles dans la suite des siècles, ces éléments doivent toujours satisfaire aux quatre équations précédentes, dans lesquelles les constantes/, c, c\ c" sont invariables.

Dans le cas où le système renfermerait encore les planètes m", m'", ..., il est aisé de voir que ces équations subsisteraient toujours en ajoutant à leurs seconds membres des termes semblables à ceux qu'ils renferment et relatifs à chaque nouvelle planète.

Reprenons les équations (A) de l'article I. Si l'on multiplie la première par dxy la seconde par dy^ la troisième par dzy et qu'on les ajoute; si l'on fait ensuite

on aura

dx d^ X -hdyd^y ~\-dzd^z , , dr , ,„

o= -d^ h(i + m)— +/7z'dR,

la caractéristique différentielle d ne se rapportant qu'aux coordonnées x,yy z de la planète m. On aura donc, en intégrant,

(fl) 0 = -£- ^ -^ H h2m'/dR.

dt'' r a J

Si l'on multiplie pareillement la première des équations (A) par a?, la seconde par y, la troisième par s, et que l'on ajoute leur somme à l'équation (a), on aura

ou, ce qui revient au même,

L'intégrale de cette équation donnera la valeur de r, dans la supposition du mouvement elliptique, en y faisant m'=o. Supposons que l'action de m' augmente cette valeur de la quantité m'Br, on changera dans l'équation précédente r dans r-hm'Br, r étant ici le rayon vecteur dans l'hypothèse du mouvement elliptique; en développant ensuite les différents termes de cette équation par rapport aux puissances de m'y les termes indépendants de m' se détruiront d'eux-mêmes par la nature du mouvement elliptique; et, si l'on néglige, comme nous le ferons toujours dans la suite, les carrés et les produits des masses perturbatrices, on aura, pour déterminer Sr, l'équation différentielle

,., d^iràr) rèr A„ dR ÔR dR

les valeurs de r, x, y, z, r', x\ y', z' étant relatives au mouvement elliptique des planètes m et m'.

Maintenant, les équations (A) de l'article I donnent, en y supposant m et m' nuls,

si l'on multiplie la première de ces deux équations par r^r, et qu'on

l'ajoute à l'équation différentielle en §r, multipliée par — x, on aura

r àr d'' X — X d^r àr) /*,„ / dR ^R dK\

^= dt^ ^"j^^-"rd:^-^^^^^'^>

d'où l'on tire, en intégrant,

rèrdx — xd(rdr) r ^ f ,„ f ^ / àR âR dR\

o = -, ^^ — 2 / xdt I dR— / X dt{ X- \- y- h^-.:-).

di J J J \ dx -^ ôy dz)

En changeant x en j, et réciproquement, dans cette intégrale, on aura la suivante :

ràrdy—yd{ràr) r ,, A„ C , f dR ôR OR

En ajoutant la première de ces intégrales, multipliée par y, à la seconde, multipliée par —x, on aura

xdy — ydx r . f ^^ r . / ^R dR dR\

ly I xdt I dR— y I xdt[x^ -\- y ~ -i- z

dR dR dR

dx -^ dy dz

mais on a, dans l'hypothèse elliptique,

xdy—ydx /a{x — e-)^ dt ~ V I + 9' '

et, si l'on nomme nt le moyen mouvement sidéral de m, on a

On aura donc

Cette expression de -^ ne dépend que des quadratures des courbes.

puisque les quantités r, Xy j, 5, r', a/, y\ z' qu'elle renferme étant relatives au mouvement elliptique de m et de m', elles sont données par la nature de ce mouvement en fonctions du temps /.

Les équations (A) de l'article I, multipliées respectivement para:, j, z et ajoutées ensemble, donnent

or on a

xd}x + yd}y ^zd}z-=. l d^ r' — {dx'- -h dy^ -^ dz^);

et, si l'on nomme dç' l'angle infiniment petit intercepté entre les deux rayons vecteurs r et r + dr, on aura

dx^ -h rfj* H- dz^ =z dr^ + r^ dv\

On aura donc

X d^x -\- yd^y -\- zd}z =r r d^r — r- dv-,

partant

rd'^r—r'^dv^ 1 + m , ( d\\ dK dK\

°= — dj^ — + -7- -*- '^ i^d^ -^yd^-^'-d-zr

Supposons que l'action de m' augmente la valeur de v de la quantité m'^Vj en sorte que l'on 2i\i v ^=v + m' ^v, la quantité v dans le second membre de cette équation étant relative au mouvement elliptique; si, dans l'équation différentielle en r, on substitue cette valeur de v, et au lieu de r, r-hm'^r, les termes indépendants de m' se détruiront d'euxmêmes par la nature du mouvement elliptique, et la comparaison des termes multipliés par m' donnera

rd}àr-hèrd'^r — ir^rdv^—%r*dvdàv dr ôR âR âR

dt* r* dx -^ dy dz '

or on a, par la théorie du mouvement elliptique,

r* rfp = (i£ V^a ( I — e*) ,

et l'équation différentielle précédente en r donne, dans la supposition de m et de m! nuls,

rdv^ (Pt I

On aura donc

rd^èr — Brd^r S dr 2dèv ,—, ^ ^R <?R <^R

dt^ A-2 dt ^ dœ -^ dy oz

Si l'on substitue dans cette équation, au lieu de r^r, sa valeur tirée de l'équation {h) de l'article précédent, on aura

dt

d{rdàr — àrdr) Sd^rèr)

~ dt^ dt*

d'où l'on tire, en intégrant et en substituant - au lieu de «^,

2rddr-hèrdr „ r ^ f ,^ C j f àK dR <?R\

r ; \-ôal ndt I dR-i- 2 a l ndt[x ^ Hr-3 l-^-j-

,g. ^^ ^ a^ndt J J J \ dx -^ dy dz )

Si l'on multiplie la première des équations (A) de l'article I par — 7, et qu'on l'ajoute à la seconde multipliée par Xy on aura

ce qui donne, en intégrant,

œdy—yda; , C -, f dR dK\ ^ — -^ z=z r. -^ m' I dtAv .x -. — I

c étant une constante arbitraire. On aura pareillement les deux intégrales

xdz — zdœ , , r J f àR dR

J -=.0' + m' I dtlz — x-zr-

dt J \ àx dz

y dz — zdy

=: C" 4- m at

, r J f dR dK\

c' et c" étant deux arbitraires. En multipliant la première de ces deux

intégrales par y, et en l'ajoutant à la seconde multipliée par — Xy on

aura

xdy—ydx , „ , r ./ dVi d^\

on aura donc, en substituant au lieu de ^ '^ ^/^ ^ sa valeur, et en négligeant les quantités de l'ordre 7w%

c'y — c"a; m'{c'y — c"x) r / dR âR\

-c"x) r^J dR

ày)

— j dtlz'^ — x'^ ]

dR dR\

dy ^âzj'

L'équation z = -^ est celle d'ui\ plan fixe que nous pouvons

considérer comme le plan de l'orbite primitive de m; en supposant donc que la planète ne quitte point ce plan, on aura

mais, comme le plan de l'orbite est variable, nous ferons

m' dz.

c y — ex

La tangente de la latitude de m sera ", , et par conséquent l'ac-

croissement de cette tangente, dû à ce que la planète quitte le plan

de l'orbite primitive, sera - Si l'on nommer le sinus de la lati-

tude de m, dans la supposition où cette planète resterait sur le plan de l'orbite primitive, et m' Bs l'accroissement de *, dû à ce qu'elle

quitte ce plan, on aura

m' èz m' os

mais on a

partant

, - m' r ds

m àz r= ^ •

Gela posé, si dans l'expression précédente de z on substitue, au lieu de ^,

c'Y — c"œ ,^ c'y — c"x m'rès

-^ h m' ûz ou —^ 1 ; ;

si l'on observe ensuite que l'on a, par l'article III,

on trouvera

os = ■

r ^ f dK (?R\

aœ(i-s^)\/7^^^ r ^ / ôR dR\

b / ndtiz r -T- '

,yi e2 J \ dy ^ âzj

les valeurs de r, ce, y, z, x' , y\ z' étant relatives au mouvement elliptique des planètes m et m'.

Des perturbations de Jupiter et de Saturne, en portant l'approximation jusqu'aux premières puissances des excentricités et des inclinaisons des orbites.

Les formules (5), (6), (7) suffisent pour déterminer le mouvement de la planète m. Elles peuvent être employées avec avantage dans la recherche des perturbations des comètes par l'action des planètes.

Le calcul des altérations qu'éprouvent leurs rayons vecteurs et leurs mouvements en longitude et en latitude se trouve ainsi réduit à des quadratures que l'on peut toujours obtenir par les méthodes connues d'interpolation ; mais, dans la théorie des planètes, la considération des orbites peu excentriques et peu inclinées les unes aux autres peut conduire à des expressions analytiques de ces perturbations et faire connaître la nature des orbites qu'elles décrivent, par des équations fort approchées qui embrassent les siècles passés et à venir.

Pour avoir ces équations, nous reprendrons les formules (5) et (6) des articles IV et V. Si l'on prend pour le plan fixe des x et des y celui de l'orbite primitive de m, et que l'on nomme v l'angle formé par le rayon r et par l'axe des a?, on aura

XT=zr ces Vy y=^f sin v, z = o, ô=z o.

Si l'on nomme ensuite i>' l'angle que la projection de r' sur le plan fixe fait avec l'axe des x, et s' le sinus de la latitude héliocentrique de m' au-dessus de ce plan, on aura

y' =z r' y/i — s''^ sin v',

z'=r's'; on aura ainsi

R = ^ j^ — ces {v' — v) —

\r^ — 2 rr' \/i — s''^ cos {v' — v) -h r'*

dK d^ <?R ^R

ax "^ ay oz ar

et les formules (5) et (6) deviendront

i 2C0St^ / ndtrsini> 1 dR + cosc' / n dtr^ s'inv— j

^ f "~ ^ ^^^^ I ndtrcosv / dR — sint' / ndtr* cosi> -r- \

, \ ^ • ^rddr-i-àrdr . C ^. C at> C ^, à^

(q) 6v-= — Via \ ndt \ ^^-\-ia \ ndtr-r-

y/i e2 «^«^^ J J J dr

Œuvres de L. — XI. l5

Le calcul de la valeur approchée de Br sera plus simple si, au lieu de la formule (8), on emploie l'équation différentielle (h) de l'article IV, qui, à cause de n'^a^ = i, peut être mise sous cette forme

Nous considérerons ainsi les équations (9) et (10), et nous négligerons d'abord les carrés et les puissances supérieures des excentricités et des inclinaisons des orbites.

VÎIî.

Dans ce cas, la valeur de R devient

r cos ( v' — V )

\Jr^ — 2 rr' cos ( v' — v) -+- r'

Pour développer cette fonction en série, nous observerons que, si l'on nomme /i^ 4- £ la longitude moyenne de m comptée de l'axe des x ; n' t -\- t' celle de m'; cr la longitude de l'aphélie de m, et cj' celle de l'aphélie de m', on a, par la nature du mouvement elliptique,

/■ = a[n- ecos(ni + £ — gj)], ('=:««-+-£ — 2esin(/i^H- e — st), r'=i a'[i + e' cos{n't -+- e'— m')], i>'= n't -^ b' — -2 6' sin{n' t-h s' — Tn').

Soient

On aura

h zzrze sincT, l z=: e coscr, h' =: e' sinTJs' , ^':= e' coscï'.

r r= a[i 4- A sin(«f + e) -t- l cos{ nt ■+- g)], V -— nt -+- s -\- 2 h cos {nt 4-e) — 2lsm{nt -h s), r'=-.a'[i-\- h' s'm{n' t-{- s') -h l' cos(/i'f 4- s')], p':-- n' t + s' -+- 2h' cos{n' t + s' ) — 2 l' sm{n' t -h e').

Maintenant on a, par la théorie des suites,

R = S -f- a [/i sin («<-+-£) ■+- l cos{nt 4- e)]^

+ a'[A'sin(n'i-+-£')4- l' cos{n't ^e')]j^,

Ali

~* 4- [2/1 cosint ■+-&)— 2I sin( nt 4- e)l -r-

H- [2h'cos{n't-\-e') — 2/'sin(n'^4-e')] ~,

en ayant soin de changer, dans le second membre de cette équation, r en a, r' en a! , v dans nt h- £, et v' dans n!t 4- e', l'expression S étant ce que devient R dans ces suppositions, en sorte que l'on a

8= —j-^zo%{n't — nt-\-t' — t) "■ , . — «

^ sja^ — 2aa'cos(n'< — nt -^ t' — e)4-a'*

Supposons que, en développant cette fonction dans une suite ordonnée par rapport aux cosinus de l'angle n' i — w/ -h £' — £ et de ses multiples, on ait

S= |A<o>+ A'') cos(rt'< — nt-\-t' — t) 4- A(^'cos2(n'i - nt-\-t' ~z) 4-

On pourra mettre cette expression sous la forme suivante :

dans laquelle 2] est le signe intégral des différences finies qui, dans ce cas, se rapporte à la variable «, et qui embrasse toutes ses valeurs entières, depuis « = — ce jusqu'à « = cc. On doit observer que A^~'^ est égal à A('\ et qu'il suffît, par conséquent, de connaître les valeurs de A<'^ relatives à i positif. /

Il est visible, par la nature de R, que l'on a

<?R dR

de plus, cette quantité étant une fonction homogène en r et f de la

dimension -- i, on a

<?R , dR r -r- 4- r' -J-; = — R; ar or

d'ailleurs, R étant fonction de (^' — ç-, on a

aR aR.

et si dans -3- on change r en a, r' en a', v dans nt + s, et ç'' dans

w'^ H- z' y on aura

(Jt» « — n' dt

On aura, cela posé,

Rr=S + a-r-[Asin(wf4-£) + ^cos(n^ + £)] c'a

/'s 4- a ^ ) [A' sin(/i'f + e') + /' cos(n'i -f- e')] [hQ,os{nt 4-e) — /sin(/ii-f-c)

« — n' dt

— h' cos{n't + t') -^ l' sin{n't-^î')].

Supposons maintenant, dans les équations (9) et (10) de l'article VII,

— — a 4- «1, ÔP = V4-V,,

M et V étant les parties de — et de Sç' indépendantes des excentricités

des orbites, et u, et V, étant les parties de ces mêmes quantités qui en dépendent. Si, dans ces équations, on compare les termes indépendants des excentricités, on formera les deux suivantes, en observant

que 71-== ^3,

2 Zày da '^ n ~ n' )

V = ôffnt 4- a- — r — nt 4 r-

aa ndt

cosi{n' t — ni 4-e' — e),

- . "" .y(--^^,aAi^>^',a^^4^)^sini{n't--nt + e'--e). 2{n-- n') Jimà\n -~ n' da ) i ^ . '

Dans ces équations : i** le signe intégral S s'étend à toutes les valeurs entières de i, la seule valeur i = o étant exceptée, parce que nous avons fait sortir hors de ce signe les termes dans lesquels i=o; 2° la constante g est Une arbitraire ajoutée à l'intégrale a fd^.

Pour déterminer cette constante, nous supposerons que nt représente le moyen mouvement sidéral de m. Dans ce cas, le terme proportionnel au temps de l'expression de V doit disparaître. Cette condition donne

Si l'on substitue cette valeur dans l'équation différentielle de u, on aura, après les intégrations,

nn-,^Y-,^ COS. (..-.-. .-H a-- s)J;

l'expression de V devient ainsi

•2 Jmd \i {n — n' )• i{n — n')iv{n — n'y — n^\ 'J

Le signe S s'étend, dans ces expressions, à toutes les valeurs entières, positives et négatives de i, la seule valeur i= o étant exceptée; on peut ne l'étendre qu'aux seules valeurs positives de i, mais alors il faut doubler les coefficients des sinus et des cosinus renfermés sous ce signe. Je n'ai point ajouté de constantes aux expressions de m et de V, parce que toutes les arbitraires du problème peuvent être censées renfermées dans les parties de r et de p qui dépendent du mouvement elliptique.

Ces valeurs fort simples de m et de V renferment la théorie des inégalités du mouvement des planètes, lorsque l'on n'a égard qu'aux termes indépendants des excentricités et des inclinaisons des orbites, ce qui suffit dans plusieurs cas.

Nous observerons ici que, quand même la série représentée par l'in-

tégraleLA^'^cos«(«'/ — nt ■+■ i' ~ s.) serait peu convergente, les expressions de M et de V le deviendraient par les diviseurs qu'elles acquièrent au moyen des intégrations successives. Cette remarque, due à M. Euler, est d'autant plus importante que, sans cette convergence, il eût été impossible d'exprimer analytiquement les perturbations réciproques des planètes dont les rapports des distances au Soleil ne diffèrent pas beaucoup de l'unité.

Considérons présentement les valeurs de w, et de V,. Si l'on fait

Xz=: î[hsin(nt h-s) -t- /cos(n; + £)] a -z — ;; 2 ^r-

n — II' ^ ^ \ aa at at J

TA < . ^ , ■ , . m/ 2^S 2a d«S\

^""t^ [^' cos {n't + s.')-l' sm{n't + e')] ^,

Y = [/isin(ni + £) H- l cos {nt + e)] ( a* -r — h ^^ -^-î )

— [h' sin (n't -h s') + l' cos{n' t -h a')] i 2a- -^ — ^ ^^ Â~î )

[h cos {nt -+- e) — lsin{nt -{- e)

n — n' da dt

— h' cos,{n't -+- e') + l' sinin't -4- s')],

la comparaison des termes dépendants des excentricités, dans les équations différentielles (9) et (10) de l'article VII, donnera les deux suivantes :

n*a,+ ( -— Sn^uj [hsin{nt -h e) + l cos int-+- e)]

du

-\- 2n -j- [hcos{nt -+- e) — /sin {nt + e)] -t- 2n^ jXndt-^- «^Y,

,, 2 dui du r . ■ ,

V,=: — ^ + 2— ^[Asm(n^ + ej + lcos{nt-h s)]

-h u[k cos{nt-he) — / sin (««-f-£)] + SffXn"^ dt^-h ifYn dt.

Si, dans l'équation différentielle en w, on substitue au lieu de u sa valeur et que, pour simplifier, on fasse

da ^ "^ da'^

D(0 n: . aA(') -+- -^^ 4^ }-. r^^^ r + « -r»— )

n — n' i*{n — «')* — n' \ /i — n' aa /

n — t(n — n') n — i{n — n') oa aa*

cette équation différentielle donnera, après l'avoir intégrée,

aj=/sin(/i« + e) -h/' cos{ nt -+- s)