n' > v^ 7- rvr2 i sm[i{n't~- n«-f-e'— e) + nt -h e
^là { [n — i{n — n')P— n^ *■
-h f ,,., r cos[i{n't — nt + £'— e) -\- nt-+-e]\.
Le signe intégral S s'étend, comme dans les expressions de u et de V, à toutes les valeurs entières positives et négatives de i, la seule valeur i= o étant exceptée, parce que nous avons fait sortir hors de ce signe les sinus et les cosinus de l'angle dans lequel « == o ; / et /' sont deux constantes arbitraires introduites par les intégrations.
Si l'on substitue dans l'expression de V,, au lieu de u et de m,, leurs valeurs et que l'on fasse
^ /./î .àX^'^ 1 3<?*A(<')\ h'/ .... -(^A('> ,^A!!1\
' — n — n' i'{n — n'y—n^ \ n — n' da J
a/z^DC)
on aura
Vi = -(AB + /i'C)/i^sin(/ï^4-e) — (/Bh- /' C)/iicos(«f + e)
-^'^Zj ;; 71^ 7;r. &\r^[i{n' t — m + &' — z) + m -^ t]
^im [ n — li^n — n )
TT 77 cosfifn'f — w^H-s'— e)H-«« + £|}.
Le signe intégral S s'étend encore à toutes les valeurs entières positives et négatives de ?, la seule valeur i = o étant exceptée. En déterminant, comme nous venons de le faire, les arbitraires/et/', la valeur de V^ ne renferme le sinus et le cosinus de /z^ -f- £ qu'autant qu'ils sont multipliés par l'arc nt\ et, par ce moyen, ie et cr expriment dans la formule de la longitude de la planète m son équation du centre et la longitude de son aphélie à l'instant où l'on fixe l'origine du temps t.
Reprenons maintenant l'équation (7) de l'article VI et supposons d'abord, pour plus de simplicité, que le plan-fixe des x et des y soit celui de l'orbite primitive de m; on aura, dans ce cas,
szzzo et z =^0.
Si l'on néglige les carrés des excentricités et des inclinaisons des orbites et leurs produits, on pourra supposer
z'—a'[Q' sin (/i'i + e') - P' cos(n'^ -t- e')],
P' et Q' étant deux arbitraires qui dépendent de l'inclinaison et de la
position des nœuds de l'orbite de m\ relativement au plan de l'orbite primitive de m. Si l'on fait ensuite
\a'^—iaa'zo%{n't — nt-\- e' — e) -h a'^]*
l'équation (7) deviendra celle-ci
o = ds — a-a' sin (nt + s)fn dt T cos(n^ + e) [Q' sin(/i'^ + s') — P' zo%{n' t -+■ e')] + a*a'cos(ni + s) fndlT sin {nt -+- e) [Q' s'm{n' t -h e') — P'cos(/i';-f- e')],
que l'on peut mettre sous cette forme différentielle
dt'
n^ Ss — n*a^a'T[Q' s'min' t -^ s') — P' cos{n' t -h e')].
Bs est k très peu près la latitude de m au-dessus du plan de l'orbite primitive; mais si, au lieu de ce plan, on prend pour celui des x et des y un autre plan quelconque qui lui soit très peu incliné, il est visible que Bs sera encore ce qu'il faut ajouter à la latitude de /w, calculée dans l'hypothèse où le mouvement de cette planète aurait lieu sur le plan de son orbite primitive. Maintenant, s et s' étant à fort peu près les tangentes des latitudes de m et de m' au-dessus du plan fixe, dans le cas des orbites invariables, on peut supposer
s =:q sin(n^ 4-e ) — p cos {nt -i- e ), s'=: q' sin ( n't + e') — p' cos ( n't -f- e'),
p, q.p'y q' étant des constantes qui dépendent de la position des nœuds
et de l'inclinaison des orbites et qui sont telles que, en nommant 0
et O'ies tangentes de ces inclinaisons et I, l'ies longitudes des nœuds,
on a
/? =0 sini, q —Q cosi,
/>'=©' sin r, 9' =5' cos r.
Il est facile d'ailleurs de s'assurer que l'on a
OEuvresde L.— W. '6
Supposons que, en réduisant T en série, on ait
T = \1U'^ cosi{n' t — nt -h s' — s),
le signe intégral S se rapportant à toutes les valeurs entières positives et négatives de i, sans en excepter la valeur i= o; on aura
Gela posé, l'équation différentielle précédente deviendra
o = ^ -^n^ès + \a''a'n'-l\ {p' —p )L('> cos [i{n't —nt-h e'— e) + n< + e]
-\-{q — q') L^'' sin [i{n't — nt-i- e'— e) 4- ni + e] j,
d'où l'on tire, en intégrant,
§s = \a^a' {p — p')U^hît s'm{nt -{- e) -i- la^a' (q — q')U^hit cos{nt -h e)
^la'a'n^yï ■. — (/^'-/^)L|'"'' cos[i{n't- nt-^e' -s) + nt-h e]
^ Jmi ( [n — i{n — n')Y — n^
H-r ^^-r^'^Vn^' ,sm[i{n't-nt + e'-£) + nt + z]\. [n — i{n — n')y — n^ *- )
On doit observer que, dans cette valeur de Bs ainsi que dans les valeurs précédentes de m, u, , V, V, , le signe intégral L s'étend à toutes les valeurs entières positives et négatives de i, la seule valeur 1 = 0 étant exceptée.
Rassemblons maintenant les résultats que nous venons de trouver. Nommons (r) et (ç') les parties du rayon vecteur r et de la longitude V sur l'orbite qui dépendent du mouvement elliptique; nommons ensuite (s) la partie de la latitude s que l'on trouve en supposant que la planète m se meut sur le plan de son orbite primitive; on aura
v={ç)-\-m' (V + VO, s r= ( 5 ) 4- m' Ô5.
Ces expressions renferment toute la théorie des planètes, lorsqu'on néglige les carrés et les produits des masses perturbatrices, ainsi que
les carrés et les produits des excentricités et des inclinaisons des orbites, ce qui est presque toujours permis; elles ont, d'ailleurs, l'avantage d'être sous une forme très simple qui laisse facilement apercevoir la loi de leurs différents termes. Pour les transportera la planète m', il suffit d'y changer a, n, A, /, z,p, q et m' dans a', n' , A', /', £',/>', q' et m, et réciproquement.
Les approximations dans lesquelles on aurait égard aux carrés et aux puissances supérieures des excentricités et des inclinaisons des orbites introduiraient de nouveaux termes qui dépendraient de nouveaux arguments; elles reproduiraient encore les arguments que donnent les approximations précédentes, mais avec des coefficients de plus en plus petits, suivant cette loi : si l'on nomme quantilés du premier ordre les excentricités et les inclinaisons des orbites, quantités du second ordre leurs carrés et leurs produits deux à deux, et ainsi de suite, un argument qui, dans les approximations successives, se trouve pour la première fois parmi les quantités de l'ordre r, ne sera reproduit que par les quantités des ordres r -h 2, r -h 4, • • . .
Il suit de là que les coefficients des termes de la forme
sin ,
t (ni+e) ces
qui entrent dans les expressions de r, ç^ et * sont approchés jusqu'aux quantités du troisième ordre, c'est-à-dire que l'approximation dans laquelle on aurait égard aux carrés et aux produits des excentricités et des inclinaisons des orbites ne changerait point leurs valeurs. On voit ainsi qu'ils ont toute la précision que l'on peut désirer, ce qu'il est d'autant plus essentiel d'observer, que de ces coefficients dépendent les variations séculaires des orbites.
Les différents termes des expressions de r, v et s sont compris dans
la forme
sin
K [iin' l — nt-\- 1'— t) -^ rnt -ir rt^ cos ■"
i étant un nombre entier positif ou négatif ou zéro, et r étant un
nombre entier positif ou zéro; K est une fonction des excentricités et des inclinaisons des orbites, de l'ordre r. On peut juger par là de quel ordre est un terme qui dépend d'un angle donné : pour savoir, par exemple, dans la théorie de Jupiter et de Saturne, de quel ordre est le terme qui dépend de l'angle Sn't — int + 5e' — 2£, on mettra cet angle sous cette forme
5{n't — nt + t' — £) + 3/i^+3£; '
et, comme alors r = 3, il en résulte que le terme dont il s'agit dépend des cubes et des produits de trois dimensions des excentricités et des inclinaisons des orbites.
Pour réduire en nombres les résultats analytiques que nous venons de présenter, il faut déterminer numériquement les valeurs des quantités A^*'^ A^^\ A'-\ . . . , U*'\ \J^\ ... et de leurs différences. La principale difliculté que présente leur formation tient au développement en série des radicaux »
et
Soit
[à^—1aa'ç,0'i{n't — nt-\-t'—^)-\-a'^^^ ^
— T rz: a, lit — nt-\-t — £ = &,
et considérons généralement la fonction (i — 2acosÔ -h a-)~^ En la développant dans une suite de cosinus de l'angle 0 et de ses multiples, on aura une expression de cette forme
(i — 2a cosô 4- a^)-*= i èi-O'-t- ^>i^' cosÔ -h ^'i2' COS2 9 + . . .,
h^^\ b\^\ ... étant des fonctions de s et de a. Si l'on prend les différences logarithmiques des deux membres de cette équation, par rapport à la variable 6, on aura
— isa.'&xnQ — 6^" sin 0 — 2 Z>V^' sin 2 0 — . . . X — 2acos0-f-a^ "" W;^ + M»' cosô + M^' cos2 9 +. . . '
En multipliant en croix et en comparant les cosinus semblables, on trouve
on aura ainsi b[^\ bl^\ . . . lorsque l'on connaîtra ^^"' et />'i". Si l'on change ^ en ^ + i dans l'expression précédente de
(i — aacos^H- a^)-*
on aura
( I — 2 a ces 9 + a2 )-*-« = 1 6i.«^\ + b^,l\ ces 9 + ^i;'i cos 2 9 +
En multipliant les deux membres de cette équation par
I — 2X cos 9 -\- x"^
et en substituant ensuite, au lieu de (i — 2a cos6 4- a*)~*, sa valeur en série, on aura
^6^°' + è^" cos9 + è^^lcosaô +. . .
= (i — 2 a cos 9 + a'-) (iZ^^Vi + ^iVi cos9 4- . . .),
d'où l'on tire, en comparant les cosinus semblables, La formule (a) donne
l'équation précédente deviendra ainsi ' i — s
En changeant i dans 2 + 1, on aura
et, si Ton substitue au lieu de è^'^Y' ^a valeur, on aura
Ces deux expressions de bf et de b'^'^^^ donnent
l + S , . ., ,,„ l — S-hî ..,/+,,
(b) ei=
on aura donc, au moyen de cette formule, les valeurs de bll\, ^^^',, ^i^',, . . . lorsque celles de èj*", 6^", b^'\ . . . seront connues.
Nommons, pour abréger, À la fonction i — 2acosG h- a^; si l'on différentie par rapport à a l'équation
}-^= iô*»' + è^" COSÔ + ^>;*' C0S2 6» + . . . ,
on aura
2s(cosd — oc)l-'-^= ~- ■+- ~--cosd-+- -r^cosaô-h. ..;
^ ' 2 dix 0(x ax
mais on a
— a + cosi
On aura donc
-^^ '- X-*-' = /- + — r^ CCS 0 H- ... ,
« a 2 0(x ax
d'où l'on tire généralement
àbl^siij-oç^^,,, sbl^ doc a ^'*'' (X
En substituant, au lieu de 6^^, , sa valeur, on aura
^Èïl — t4-(t+25)«^ ^(;, 2(/ — 5H-l) ^(,+ 1, (?a a(i — a^) * i — a^ * '
Si l'on différentie cette équation, on aura
d*bY^ i-^ii-i-2s)a^ db^ r(+2£ 2(1 + s){i — Soc^)! ., êa^ " a(i — a^) da "^ [ «' ~ of^i — «')' J '
en ditî'ércntiant encore, on aura
d^^ f-i-(fH-25)a' d^ 6^ ' p -t-a.9 2(f4- ■y)(i — 3«»)'] db^
I —a* <?a* (i — a')* da
On voit ainsi que, pour connaître les valeurs de b\" et de ses difl'érences successives, il suffit de connaître les deux quantités è^"' et ^i". On déterminera facilement ces deux quantités de la manière suivante.
Si Ton nomme c le nombre dont le logarithme hyperbolique est l'unité, on pourra mettre l'expression de \~'^ sous cette forme
En développant le second membre de cette équation par rapport aux puissances de c^v/^ et de c~^^-', les deux exponentielles c'®v/-« et ç-i^y/-\ auront le même coefficient que nous désignerons par [x. La somme des deux termes ]x&^^~^ et \j.c~^^^^ est 2[jt.cosiO; ce sera la valeur de 6^" costô : on aura donc ^*" = 2[jt..
Maintenant l'expression précédente de X~* est égale au produit des deux séries
En multipliant donc ces deux séries l'une par l'autre, on aura, dans le cas de i =■ o,
128 THÉORIE DE JUPITER ET DE SATURiNE.
et, dans le cas de î= i,
r SS{s-{-l) . S{s-h\) S(S -hl){s-ir 2) . 1
partant
Dans la théorie des planètes * = |; en substituant donc cette valeur dans les expressions précédentes de ^i"' et de b\^\ on aura les valeurs relatives à cette théorie; mais ces valeurs ne seront pas fort convergentes si a n'est pas une petite fraction : elles convergent davantage dans le cas de ^ = — |, et l'on a
Ces deux suites seront très convergentes si a^ est moindre que ^; or, dans la théorie de Jupiter et de Saturne, a- est au-dessous de |; il suffira, par conséquent, de prendre la somme de leurs dix premiers termes, en négligeant les termes suivants, ou, plus exactement, en les sommant comme une progression géométrique dont la raison est
Lorsqu'on aura déterminé 6'"J et è"J, on aura U^^ en faisant s =^— { et ï = o dans la formule {h) de l'article précédent, et l'on trouvera
Si, dans la même formule, on suppose ï= i et ^ = — |, on aura
mais la formule (a) de l'article précédent donne, en y faisant 1 = 2 et
io«6<»| = 2a6<»| + 4(14- (x-)b'^l ; 1 » 2
on aura donc
Pour déterminer présentement les quantités A^"', A^'\ A^'\ ... et leurs différences, on observera que la suite
iA(«) + A(*) cosÔ + A(2) cosaô + . . .
résulte, par l'article VIII, du développement en série de la fonction
-acosô I
(a^ — 2aa'cosO -i- a'^)'^
en faisant donc -7 = a, on aura
acosO I 1 A ^n^ i Ml />
— ^ Y =:|A('')4- A<*)cos9 -h. . ,,
a'(i— 2acos9 H- a')'^
ce qui donne généralement
Cette équation a lieu depuis i^ o jusqu'à i= 00, excepté dans le cas de i= I, où l'on a
On aura ensuite
da a' doc da'
mais on a
âct I
àa a'
OEuvreade L. — \\. * 17
partant
da a'* dot.
et,, dans le cas de « = i , on aura
da ~ a'^ \ doc
Enfin on aura
Aï ni)
da^ ~~ a'' da}
AZ Ijii)
dà^ ~" a"* dai?
et ces équations auront lieu dans le cas même de î = i .
Pour déterminer les quantités L^^^ \}^\ U*^ ..., on observera que, par l'article XI, on a
a'^(i — 2acos9 4-a'')2 ^
^ = iL(») + U») cos 0 4- L<2) cos 2 0
d'où l'on tire
Cette équation a lieu depuis i = 1 jusqu'à ? = ao; mais, dans le cas de i = o, on a
Quant à la valeur de ^3', on la déterminera en faisant, dans la formule {h) de l'article Xlïl, s='-.
Le calcul des perturbations de m par l'action de m' facilitera celui des perturbations de m! par l'action de m. En effet, il est visible que les valeurs de A^'^ et de L"^ sont les mêmes dans ces deux calculs, à l'exception des valeurs de A<'^ et de L'*'^ qui sont différentes et qui,
dans la théorie des perturbations de m' par l'action de m, deviennent
A(»)— 1 Ad)
Dans cette dernière théorie, les différences de A<'\ au lieu d'être prises relativement à la quantité a, le sont par rapport à a' \ mais on peut ramener ces différences les unes aux autres, en observant que A^'^ étant une fonction homogène en a et a' de la dimension — r, on a, par la nature de ce genre de fonctions,
aa' aa
d'où l'on tire
da' ùa da da?-
da'-da (?a (^a* <?«'
ainsi A^'^ et ses différences relatives à a ayant été déterminées dans le calcul des perturbations de m par l'action de m'y on aura facilement ses différences relatives, soit à la seule quantité a, soit aux deux quantités a et a'.
Des inégalités séculaires de Jupiter et de Saturne.
Un des objets les plus importants de la théorie des planètes est celui de leurs inégalités séculaires. On a vu, dans les articles précédents, que les intégrations introduisent, dans l'expression des coordonnées
des planètes, des arcs de cercle qui doivent, à la longue, en altérer d'une manière sensible les éléments; ils rendraient même, après un temps considérable, les orbites fort excentriques et, par conséquent, les suppositions dont nous sommes partis très défectueuses, s'ils existaient dans les expressions rigoureuses des coordonnées; mais, comme ils ne sont donnés que par des approximations, il est naturel de penser que la forme sous laquelle ils se présentent est due à ces approximations successives, et qu'ils ne sont que le développement en séries de fonctions périodiques qui croissent avec beaucoup de lenteur. La détermination de ces fonctions est le point le plus délicat de cette analyse; j'ai donné autrefois, pour y parvenir, une méthode nouvelle fondée sur la variation des constantes arbitraires; je vais la rappeler ici en peu de mots.
Si, dans l'expression de la longitude i^ de la planète m, on ne conserve que la longitude moyenne et les termes multipliés par les sinus et les cosinus de nt ■+- £, on aura, par les articles VIII, X et XII,
ç:=z nt -Jr £ — 2ls\n{nt + e) + 2/i cos{nt + e)
— m' {hB -+- h' C) nt sm{nt -i- e)
— m'ilB -}- l'C) nlcos{nt-\-e).
Si l'on considère les arcs de cercle de cette expression comme résultant du développement de /et de A en séries, et que l'on nomme §/ et SA les variations de / et de A correspondantes au temps t, on aura
or on a, par la théorie des suites,
^. dh r- d'^h
on r= t~, 1 H . . . .
dt 1.2 dt^
En comparant donc les termes affectés de la première puissance du temps, et qui sont les seuls auxquels nous ayons eu égard dans l'expression de Vf on aura
L'instant de l'époque où l'on fixe l'origine de / étant arbitraire, il est clair que ces équations ont lieu pour un instant quelconque ; ainsi, en les intégrant, on aura les fonctions transcendantes qui, par leur développement en séries, ont introduit les arcs de cercle que renferme l'expression de c; mais, pour intégrer ces équations, il faut les réunir aux deux équations différentielles entre les mêmes variables, qui résultent des variations de h' et de /', et qu'il est facile de tirer des précédentes, en y changeant les quantités relatives à m dans celles qui sont relatives à m', et réciproquement.
On peut simplifier les valeurs de B et de C en observant que l'on a, par l'article X,
oa 2 oa^
ce qui donne, par l'article précédent,
^- "" â<x '"^ doi'db\^^ d»6V»'
En substituant, au lieu de -^ et de -— -> leurs valeurs en M"' et èV, que l'on trouvera par l'article XIII, on aura
Or on a, par le même article,
partant
Il suit de là que, si l'on suppose
^- = {a, a') 4- {a, a')' cosd +. . .,
on aura
On trouvera, de la même manière,
Si l'on change dans ces expressions a en a', et réciproquement, on aura les valeurs de B et de G, relatives aux perturbations de m\ par l'action de m, et l'on doit observer que les fonctions (a, a') et (a, a')' ne changent point en vertu de ces permutations.
Cela posé, soit i le nombre des années juliennes écoulées depuis l'époque où l'on fixe l'origine du temps /; soit T la durée d'une année julienne; /^T sera le moyen mouvement de m dans cet intervalle; nous le supposerons réduit en secondes de degré. Soient encore
m'nT , , — -z — a^a'{a, a )'=r (o, i),
a [(«^ + a'^) {a, a')' — 3aa'{a, a')] = [ o , 1 1 ,
mn'T
mn'T
a' [(«2 + «'2 ) (a, a')' — 3 aa' {a, a' )] = [T~ô] ;
on aura, par ce qui précède, entre les quatre variables /, h, V et h\ les (juatre équations suivantes :
.dl
o=-^ —(0,1)/ +[ôTT]r, dV
Ces quatre équations différentielles renferment toute la théorie des variations séculaires des excentricités et des aphélies des deux orbites. Pour les intégrer, on supposera
A =M sin(/f -hê), l —Mcos{/i-+-6), A'=M'sin(//H-6), l' — M'cos{/i-h6).
En substituant ces valeurs dans les équations différentielles précédentes, on aura celles-ci
or=M/ — (o,i)M +[ô77]M',
d'où l'on tire
M'(o,i)-/ [lS
et, par conséquent,
(l,0) + (0,l)±\/[(l,0)4-(0,l)?-f-4r^^l^Tri
On voit ainsi que les deux valeurs de /sont réelles, puisque le produit I i,o| I i,o| est nécessairement positif; les quantités A, h', /, /' ne renferment donc ni arcs de cercle ni exponentielles, du moins lorsque n et n' ont le même signe, c'est-à-dire lorsque les planètes tournent dans le même sens, ce qui est le cas de notre système planétaire.
Soient/ et/' les deux valeurs de /; on aura, par la nature des équations linéaires,
/« =:M sin(/f -Hg)4-N sin(/'/4-ê'),
/ =Mcos(// +§)-+- Ncos(/'i-+- S'), /i' = M'sin(// + g) + N'sin(/'/ + 6'), /'=M'cos(/f4-6) + N'cos(/'« + o').
Les quatre arbitraires M, N, M', N' auront entre elles les deux rela-
tions suivantes :
elles n'équivaudront, par conséquent, qu'à deux arbitraires; mais, en y joignant les deux constantes ê et ê', on aura les quatre arbitraires que doivent renfermer les expressions de h, h', /, /'. On déterminera facilement ces constantes au moyen des excentricités e et e' des orbites et des longitudes u et cj' de leurs aphélies à une époque donnée, en observant que
/i = esinsy, /=:ecosnT, /i'= e' sincr', l' =. e' cosrs' .
On aura ensuite les excentricités et la position des aphélies pour un temps quelconque, au moyen des formules
Il est beaucoup plus simple, pour les usages astronomiques, de considérer les variations différentielles des excentricités et de la position des aphélies. Pour cela, nommons Se et §cj les variations correspondantes à S/ et Sh; les expressions finies de A et de / donneront
ôA = ôe sincT H- e (5cT coscT, èl =:âecosGT — eôcTSincT,
d'où l'on tire
de = àh sin xs-hèl cos m,
eôcT = ôAcosnr — ô/sincr; mais on a, par les articles précédents,
àl =— {o,i)ih + |o,i I ih'.
On aura donc
de — • |o, 1 1 ie' sin (ro' — cj),
ÔGT = i\ (o,i) — |o, I I — cos(Gy' — Cj) .
On trouvera de la même manière
de' — I i,o| iesin(cT — ct'),
t':= I (l,o) — I I, o[ - C0S(CJ — Gl') 1.
ÔGJ'
Ces formules peuvent être étendues, sans erreur sensible, à deux ou trois siècles avant et après l'époque où l'on fixe l'origine des i. Pour les étendre à de plus grands intervalles, on observera que les coefficients de «, dans les expressions de Se, Su, Se' et Sct', sont les variations annuelles de ces quantités, variations qui, par conséquent, sont égales
, de dxs dé drs' r\ i > . • j ii- i • ' a ^
^ T^ T^ ^fT'' ~d'' déterminera donc, par les formules précédentes,
les valeurs de e, u, e', cj', relatives à mille ans avant l'époque que l'on a choisie, et l'on en conclura leurs variations annuelles correspon-
