ç, . . de djs de' d
dantes a cette seconde époque. Soient -p» --pr, -rr» —tt les variations
'^ ^ di di di di
111 / / ' 1 • ' ' d^i dm, de', dxs'. •
annuelles de e, cj, e, cj a la première époque; -^S —~, -p-i —r^ les
variations annuelles des mêmes quantités à la seconde époque; on aura, par la théorie des suites,
de^ de d}e
di di di^ '
mais on a, par la même théorie,
^ .de ir d^e di 2 ar
on aura donc, à très peu près,
^ .de i} /de de^X
di 2000 \di di )
ORuvresde A- — XI. «8
On trouvera, de la même manière,
^JS =1 -TT +
di 2000 \ di di
, , .de' i^ (de' de'.
di 2000 \ di al
» , .dxs' i^ fdvs' dm'.
di 2000 V di di
Ces formules peuvent s'étendre à plus de deux mille ans avant, et à mille ou douze cents ans après l'époque où l'on fixe l'origine des i.
Considérons présentement les inégalités séculaires des nœuds et des inclinaisons des orbites. Pour cela, nous observerons que si, dans l'expression de la latitude s de m, on n'a égard qu'aux termes multipliés par le sinus et le cosinus de nt -h £, on aura, par l'article XI,
5 = 5'sin(/i^ + £) — pcos{nt -\- s)
■-\- \a^a' m'U^^i nt{q ~ q')ç,o?,{nt -{- z).
Il est visible, par le même article, que U'^ est égal à {a, a')', en sorte que l'on a, par ce qui précède,
on aura donc
\a}a'm'U^hit—{o,\)i;
5 =r 7 sin ( /if + £ ) — jo cos ( «f -I- £ )
-\-{o,i)i{p — p') sin(/i^ 4- £) + {p,i)i{q — q')Q,0?>{nt-^-z).
Soient S/? et tq les variations de p QiàQ q correspondantes au nombre i d'années juliennes, on aura
àp = {o,l)i{q'—q ), èq = {o,i)i{p~p'),
d'où l'on tire, comme dans l'article XVI,
0=-£ ~ {0,1) iq' — q).
On aura pareillement
O ~-^ + (1,0) iq'-q),
Si l'on suppose
/>— P sin(^f-hy)-hQ,
q = P cos{gi-hy)-\-Q',
p'=:zP'sin{gi-hy)-hQ,
7'=P'cos(^f4-y) 4-Q',
on trouvera, en substituant ces valeurs dans les équations différentielles précédentes,
p- io, ,)'
on aura ainsi, entre les cinq arbitraires P, P, Q, Q' et y, une relation qui les réduit aux quatre constantes arbitraires que doivent renfermer les valeurs de/?, ^,/>', g'. On déterminera ces constantes au moyen des inclinaisons des orbites et des positions de leurs nœuds à une époque donnée, en observant que
p — Q sinl, q — 9coslj p' = d's'uïl', q'—ô'cosl'.
On aura ensuite les tangentes des inclinaisons et les positions des nœuds, relatives à un temps quelconque, au moyen des formules
tangl— — , langr=-^- Soit Y la tangente de l'inclinaison de l'orbite de m sur l'orbite m'; il
est aisé de voir que l'on a
ce qui donne, en substituant, au lieu dep,p', q, q' , leurs valeurs précédentes
d'où il suit que, dans tous les changements qu'éprouve la position des orbites, leur inclinaison respective est constante.
Si l'on nomme SG, Si, §6', Si' les variations des inclinaisons et des nœuds, correspondantes à tp, Bq, S/?', Sq\ on trouvera, comme dans l'article XVIII,
èl —--{o, I
ôl' = ~-(i,o
i9' sin{V~l),
,|x-|cos(r-i)j,
i9sin(l — F),
iTi--g^cos(i-r)j.
Soient -yrj -jr, ^77 j -jr Ics varîatious annuelles de G, l, G', l'à l'époque
di di di di
dd^ dii dB\ d\\
où l'on fixe l'origine des «, et -~> -~y -~, —■ ces mêmes variations.
àl =
2000 \ di
dl
mille* ans avant cette époque, on aura
di
.dl
di
dl dl
di
dl, di
2000 \ di
2000 \ di di
2000 V di di
et ces valeurs pourront s'étendre à plus de deux mille ans auparavant et à mille ou douze cents ans après l'époque choisie.
THEORIE DE JUPITER ET DE SATURNE. lU
Reprenons les^ équations (C) de l'article III, auxquelles les éléments des orbites doivent satisfaire après un temps quelconque. Les deux premières donnent, en les différentiant et en négligeant les quatrièmes puissances des excentricités et des inclinaisons des orbites,
m da m' da' o = — , 1-
s/a \Ja'
— 'imsfâ{ede^QdB) — im' \Jâ' {e' de' + Q' dB' ) ;
or on a, par les articles précédents,
de
di
de
di
de^ di
I o, I I e' sin(cT' - ci ),
(o, i)9'sin(r- I),
1 1, o|e sm(GT — gt'),
~=-(i,o)9 sin(I -1');
on aura donc
/-/ de .d9\ , r-,[ ,de' ^, dB'
"^^['di^^dO-^^^i'-dî-^^-dî
:= (m y/g [o, 1 1 — m' \Ja' \ i, o[)ge^sin(CT'— bt) — [/nv/â(o, i) --/n'v/«'(i,o)]09'sin(r — I ).
On a, par l'article XVI,
, . m! ni , ,^ ,^, m'T ,. , , (o, i) =: — - — a}a\a, a) == —-aa' {a, a ) ,
à cause de ri^ = — ; on aura pareillement
(i,o)— -—==.aa'{aya')' k\la!
et, par conséquent,
7n\Ja{o, i) :=^m' \fa'{\,o).
On trouvera de la même manière ^
m sja [o, 1 1 — m' \/a' [ i , o 1 ;
on aura ainsi
m\Ja{ede + QdQ)-\-m'\l'âJ{e' de'-\-e' dQ')=.o,
ce qui réduit les deux premières équations différentielles de cet article aux suivantes :
m da m' da'
\a sja'
Ces équations donnent da = o, </«'= o, d'où il résulte que les grands axes des orbites sont constants, du moins lorsque l'on néglige les quatrièmes puissances et les produits de quatre dimensions, des excentricités et des inclinaisons des orbites; car les équations différentielles qui déterminent e</e, ô</0, é de' y ô'ûfô'sont, par l'article XII, exactes aux quantités près de cet ordre.
Les carrés des moyens mouvements des planètes étant réciproques aux cubes des grands axes de leurs orbites, la constance de ces axes entraîne avec elle l'uniformité des moyens mouvements; ils ne sont donc, en vertu de l'action mutuelle des planètes, assujettis à aucune équation séculaire sensible depuis l'époque des observations les plus anciennes jusqu'à nos jours. C'est à peu près de cette manière que j'ai reconnu, le premier, l'uniformité des moyens mouvements célestes. M. de la Grange a fait voir depuis, par une analyse fort ingénieuse, qu'ils sont uniformes, même en ayant égard aux quantités du quatrième ordre et des ordres supérieurs. Il ne doit donc maintenant rester aucun doute sur cet objet, et nous verrons dans la suite que ce résultat de la théorie est entièrement d'accord avec les observations
anciennes et modernes de Saturne, celle de toutes les planètes dont l'équation séculaire a paru la plus considérable aux astronomes. Les deux dernières des équations (C) de l'article III donnent encore
c' =r mq\Ja 4- m'q' sfâJ ^
c" = mp \fa •+- m'p' \ja' .
Si l'on substitue dans ces équations les valeurs précédentes de/?, 7, p' et q', on verra facilement qu'elles seront satisfaites.
Des perturbations de Jupiter et de Saturne qui dépendent des carrés et des puissances supérieures des excentricités et des inclinaisons des orbites.
Les rapports des moyens mouvements de Jupiter et de Saturne rendent les approximations précédentes insuffisantes et forcent de les étendre aux carrés et aux puissances supérieures des excentricités et des inclinaisons des orbites. Il se rencontre dans cette théorie des inégalités dépendantes de ces puissances et qui, par les intégrations, acquièrent de grands diviseurs et deviennent par là très sensibles. Mais si l'on voulait suivre, pour déterminer ces inégalités, l'analyse dont nous avons fait usage pour avoir les inégalités proportionnelles aux puissances simples des excentricités et des inclinaisons des orbites, on tomberait dans des calculs d'une excessive longueur. Heureusement, la raison qui nous oblige de recourir à ces inégalités simplifie leur détermination, en permettant de négliger des quantités qui deviennent insensibles. Je vais exposer ici une méthode fort simple pour déterminer les inégalités dont il s'agit.
Reprenons les équations (8) et (9) de l'article VII et supposons que dR renferme ou un terme constant, ou le sinus d'un angle proportionnel au temps et croissant avec une grande lenteur, en sorte que, en exprimant cet angle par a< -4- ê, a soit un très petit coefiîcient;
la double intégrale fndt fd^ renfermera un terme proportionnel au carré du temps ou un terme dépendant de l'angle az h- 6 et qui aura a.^ pour diviseur; il est clair que, en faisant a = o, ce second cas rentrera dans le premier : ainsi nous considérerons, pour plus de généralité, le cas dans lequel a est quelconque, mais très petit, et nous chercherons les termes de §r et de ^ç- qui dépendent de l'angle a/ -f- ê et qui ont a^ pour diviseur.
Si l'on fixe l'origine de l'angle i> à l'aphélie de la planète m, on a, par la nature du mouvement elliptique.
ndt -
/•- dv a^^i — e-
rz
i — eco&v
donne
r cos(^ =
Cette dernière équation donne
la fonction jndtrcosi^fdR devient ainsi
Or on a, par la théorie du mouvement elliptique,
rr^a{i-{~^e^+ex),
X étant une suite infinie de cosinus de l'angle /z + £ -h ct et de ses multiples; on aura donc
fndtrcosçfdR = afndt{^e + X)f^^- Si l'on nomme x' l'intégrale Cny^dt, on aura
fnx dtfdïi = x'/dR - fx' dR,
et il est visible qu'aucun de ces deux derniers termes ne peut avoir a^
pour diviseur. En ne considérant donc que les termes qui ont ce diviseur, on aura
Jn dtr cos v J dR. = | aeCn dtJ'dR.
L'expression précédente de r donne, par la différentiation,
, ae(i — e')rfcsinf er*di> sinv^
~ (i — ecosp)* ~ a(i — e') '
en substituant, au lieu de r^dç^ sa valeur ti^/î<//(i — e"), on aura
, aen dt sin i>
dr =
ce qui donne
rdrs/i — e^
ndtrsinv = —
ae
La fonction indtrsinv y dR devient ainsi
or on a
fr drfm = i z-'/dR - |/r' dR,
et il est clair qu'aucun de ces deux derniers termes ne peut avoir a* pour diviseur; en n'ayant donc égard qu'aux termes qui ont ce diviseur, la formule (8) de l'article VII deviendra
— = ndtJA^.
Si l'on substitue, au lieu de , ? sa valeur 5:' on aura
sji~e^ ndt
èr 3dr p , /» ,r.
— = —77 fndtfdR.
a nat ^ •/
11 suit de là que, si l'on n'a égard qu'aux termes qui ont a^ pour diviseur, le rayon vecteur r de la planète m devient
QEupre» «& L.— XI. 19
(r) et (-—n) étant les expressions de r et de — ^ relatives au mouvement elliptique. Ainsi, pour avoir égard, dans l'expression du rayon vecteur, à la partie des perturbations qui est divisée par a% il suffit d'augmenter de la quantité 3am' fndtfdR la longitude moyenne nt -h t de l'expression du rayon vecteur dans l'hypothèse elliptique. Voyons maintenant comment on doit avoir égard à cette partie des perturbations, dans l'expression de la longitude v.
La formule (9) de l'article VII donnera, en n'ayant égard qu'aux termes divisés par a^ et en y substituant, au lieu de ^r, sa valeur précédente,
» r I ledi'cosv e^dvsin^ç ]. /» 7 /•,n
ôp = :r- r H -j-, rr 3a H dt / dR;
|i/i ^2 ndt{i — ecosp) ndt{i — ecosr)*j '^ »^
or on a, par la nature du mouvement elliptique,
I r^dç di'(i — e^)
4/1 e2 a-(i — e^)ndt ndt{i — ecosp)^'
on aura donc
èç=-^3arndtrdR; ndt J J
d'où il suit que, en n'ayant égard qu'aux termes divisés par a^, la longitude V de la planète m devient
(^) 6t ( —-rA étant les valeurs de v et de -^ relatives au mouvement
^ ^ \ndt) ndt
elliptique. On doit donc suivre, pour avoir égard à cette partie des perturbations dans l'expression de la longitude, la même règle que nous venons de donner pour y avoir égard dans l'expression du rayon vecteur, c'est-à-dire qu'il faut augmenter dans l'expression elliptique de V la longitude /z^ -h £ de la quantité '^am! Cndtj àR.
La partie constante de l'expression de \—ji) développée en série de cosinus de l'angle nt + z — x:s et de ses multiples se réduisant.
comme l'on sait, à l'unité, il en résulte dans l'expression de la longitude le terme 3am' jndtfdlX. Ce terme est très important à considérer, en ce qu'il exprimerait l'équation séculaire de la planète m si dR renfermait un terme constant tel que &ndt, et, dans ce cas, l'équation séculaire serait exactement égale à lam'kn^t^.
On peut parvenir très simplement au même résultat par la considération de l'équation (a) de l'article IV; en effet, si l'on néglige les quantités périodiques de l'intégrale ydR, cette équation deviendra
da:* -+- dy* -+- dz* 2(1 -h m) i -\- m
0= -7-5 ^^ 1 h 2m'knt;
dt^ /• a
mais, si l'on considère après le temps / l'orbite de m comme une ellipse dont le demi grand axe est a -h Sa, on aura, après ce temps,
dx^ + dv^ H- dz^ 2 ( I -f- m ) i + tn
O ziz ^ H •
dt'^ r a-i- èa
En comparant donc cette équation à la précédente, on aura
^ =: h im' knt.
a -h àa a
d'où l'on tire, en négligeant m vis-à-vis de l'unité et le carré de Sa,
— ôa , ,
z:: im aknt.
Maintenant, si l'on nomme S/i la variation de n correspondante à Sa,
3/i hn ^=z Zm'akn}t\
l'équation n^—— donnera = \-i partant
or le moyen mouvement de m étant égal à jndt^ l'équation séculaire de ce mouvement est j^ndt; cette équation sera donc égale à ^m'akn^t^, ce qui est conforme à ce qui précède. La recherche des équations séculaires se réduit ainsi à voir si dR
renferme un terme constant. Lorsque les orbites sont peu excentriques et peu inclinées les unes aux autres, on a vu ci-dessus que R peut toujours se réduire dans une suite infinie de sinus et de cosinus d'angles croissant proportionnellement au temps; on peut les
sin
représenter généralement par ce terme k {int -^ i'n't-\- k), i et
cos
i' étant des nombres entiers positifs ou négatifs, ou zéro. La différentielle de ce terme, prise uniquement par rapport au moyen mouvement nt de la planète m^ donnera la partie de dR qui lui est relative,
et cette partie sera ± ikndt . (^int -4- i'n't H- A) ; or elle ne peut être
constante, à moins que l'on n'ait m-+- i'n' = o, ce qui suppose les moyens mouvements de m et de m' commensurables entre eux; et, comme cela n'a point lieu dans notre système, on doit en conclure qu'il n'existe point d'équation séculaire dans les moyens mouvements des planètes, en vertu de leur action mutuelle. Le résultat auquel nous sommes parvenus dans l'article XX est donc non seulement approché, mais même rigoureux, du moins lorsque l'on néglige les carrés et les produits des masses perturbatrices.
Si les moyens mouvements de deux planètes, sans être exactement commensurables, approchent cependant beaucoup de l'être, il existera dans la théorie de leurs mouvements des inégalités d'une longue période, et qui, si elles ne sont pas connues, pourront donner lieu de penser que les mouvements de ces planètes sont assujettis à des équations séculaires. C'est ce qui a eu lieu relativement à Jupiter et à Saturne; leurs moyens mouvements sont tels, que cinq fois celui de Saturne est, à fort peu près, égal à deux fois celui de Jupiter, ce qui produit deux grandes inégalités dont la période est d'environ neuf cent dix-neuf ans, et qui, n'ayant pas été connues jusqu'à ce moment, ont fait croire aux astronomes que le mouvement de Jupiter s'accélérait, et que celui de Saturne se ralentissait de siècle en siècle.
Pour déterminer ces inégalités, supposons que la partie de R dépendante de l'angle Sn'i — int h- 5e'— it soit exprimée par
Asin(5/i'^— int-\- 5e'— as) — /:'cos(5n'i — int -\- 5 e'— ae),
5^'— in sera ce que nous avons nommé a dans l'article XXI. Ce coefficient du temps t peut être, en effet, considéré comme étant très petit, puisqu'il n'est environ que ^ de /i ou j^ de n'. Si l'on n'a égard qu'à cette partie de R et qu'on la différentie uniquement par rapport à nt,
on aura
dR=::— 2^: ndtcos{5n't — int->r 5e' — 2e)
— ik' n dtsiïi {5n' t— int -\- Se'- ae),
ce qui donne
iam'fndtjdR =z— &am'J'jn^dt'^[ k cos(5/i'i— int — 5e' — it)
+ A:'sin(5n'f — 2n« — 5e'— 2e)].
Les valeurs de k et de k' sont, par l'article XII, fonctions des cubes et des produits de trois dimensions des excentricités et des inclinaisons des orbites; elles dépendent encore des positions de leurs nœuds et de leurs aphélies; or toutes ces choses sont variables, et, vu la lenteur avec laquelle croît l'angle ^n't — int, il n'est pas permis de les traiter comme constantes dans la double intégrale précédente. A la vérité, leurs périodes étant beaucoup plus longues que celles de l'angle
Sn't — int, on peut n'avoir égard qu'aux différences premières -^
dk' et -j-j et négliger les différences supérieures; on trouvera ainsi
3 am'fn dtJdR
dt
r / àk
(5/i'— 2rt)* L \ 5n'— an,
/ dk' '
sin(5«'^ — int 4- 5e'— ae)
-\-\k-\-i-f^-, /cos(5/i'^— an^4-5e'— ae)
\ bn' — m/
C'est la quantité dont il faut corriger la longitude moyenne nt -h £, dans l'expression elliptique du rayon vecteur et de la longitude
vraie, pour avoir la partie des perturbations qui dépend de l'angle Sn't — int.
Nous verrons dans l'article suivant que, dans la théorie des perturbations de Saturne par l'action de Jupiter, la partie de R dépendante de l'angle ^n't — int + 5e'— 2£ est la même que dans la théorie des perturbations de Jupiter par l'action de Saturne, quoique les valeurs de R soient un peu différentes dans ces deux théories. En suivant donc l'analyse précédente, on trouvera facilement que, pour avoir égard dans la théorie de Saturne aux termes qui ont pour diviseur (5/ï'— iny, il faut ajouter à la longitude moyenne /i7 -h i' de cette planète la quantité
/ dk^
